Determine se as sequências abaixo são limitadas e se são monótonas.
e_{n}=\frac{n^{2}-1}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado define a sequência (e_n) por
e_n = \frac{n^2 - 1}{n^2 + 1},
e pede para verificar se ela é limitada e se é monótona. Vamos usar desigualdades para a parte de limite e o teste da diferença e_{n+1}-e_n para monotonicidade.

Passo 2

Para todo n\ge1 temos n^2-1\ge0 e n^2+1>n^2-1. Logo
0 \;\le\; e_n \;=\;\frac{n^2-1}{n^2+1} \;<\;1.
Isto mostra que (e_n) é limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1.

Passo 3

Calculamos a diferença entre termos consecutivos:
e_{n+1}-e_n = \frac{(n+1)^2-1}{(n+1)^2+1} \;-\;\frac{n^2-1}{n^2+1} = \frac{2(2n+1)}{(n^2+1)\bigl((n+1)^2+1\bigr)}.
Como o denominador é sempre positivo e 2(2n+1)>0 para todo n\ge1, segue que e_{n+1}-e_n>0. Portanto, (e_n) é estritamente crescente.

Resposta

A sequência \bigl(e_n\bigr) é limitada (tem 0 \le e_n < 1) e é estritamente crescente.

Exercícios relacionados