Determine se as sequências abaixo são limitadas e se são monótonas.
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
e pede para verificar se ela é limitada e se é monótona. Vamos usar desigualdades para a parte de limite e o teste da diferença
para monotonicidade.
Passo 2
Para todo
temos
e
. Logo
Isto mostra que
é limitada inferiormente por
e superiormente por
.
Passo 3
Calculamos a diferença entre termos consecutivos:
Como o denominador é sempre positivo e
para todo
, segue que
. Portanto,
é estritamente crescente.
Resposta
A sequência
é limitada (tem
) e é estritamente crescente.