Determine se a série converge e, se convergir, encontre sua soma.
b) \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1} \frac{7}{6^{k-1}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: decidir se a série converge e, se convergir, calcular a soma. A série dada é
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{7}{6^{k-1}}.
Informações úteis que já vêm do enunciado:
  • O termo geral é (-1)^{k-1}\dfrac{7}{6^{k-1}}.
  • Posso escrever explicitamente os primeiros termos para visualizar: para k=1,2,3,\ldots os termos são
7,\; -\frac{7}{6},\; \frac{7}{6^{2}},\; -\frac{7}{6^{3}},\ldots

Passo 2

Reconhecer o tipo de série. Se observar a sequência de termos, percebe-se um padrão geométrico alternado. Vou reindexar para facilitar: seja n=k-1. Então, quando k=1,2,\ldots temos n=0,1,2,\ldots e a série fica
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{7}{6^{n}}.
Posso fatorar o 7 que é constante:
7\sum_{n=0}^{\infty}\left((-1)\frac{1}{6}\right)^{n}.
Aqui já aparece claramente uma série geométrica com primeiro termo 1 (no somatório) e razão r = -\dfrac{1}{6}.

Passo 3

Relembrando a definição e o critério de convergência para séries geométricas: uma série geométrica tem a forma
\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n},
onde a é o primeiro termo (quando n=0) e r é a razão. Essa série converge se, e somente se, |r|<1. Nesse caso, a soma é dada por
\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n}=\frac{a}{1-r}.
Breve justificativa (útil para a prova): para a soma parcial S_N=\sum_{n=0}^{N}ar^{n} vale a fórmula dos somatórios geométricos
S_N=a\frac{1-r^{N+1}}{1-r},
e se |r|<1 então \lim_{N\to\infty}r^{N+1}=0, logo \lim_{N\to\infty}S_N=\dfrac{a}{1-r}.

Passo 4

Aplicar ao nosso caso: na expressão 7\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^{n} o fator 7 corresponde a a multiplicando a série com primeiro termo 1. Podemos também ver o primeiro termo da série original (quando k=1) como a=7 diretamente e a razão como r=-\dfrac{1}{6}. Verifico o critério de convergência:
|r|=\left|-\frac{1}{6}\right|=\frac{1}{6}<1.
Portanto a série converge (pois |r|<1).

Passo 5

Calcular a soma usando a fórmula da geométrica com a=7 e r=-\dfrac{1}{6}. Assim
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{7}{6^{k-1}}=\frac{a}{1-r}=\frac{7}{1-(-\tfrac{1}{6})}.
Agora simplifico o denominador:
1-(-\tfrac{1}{6})=1+\tfrac{1}{6}=\tfrac{6}{6}+\tfrac{1}{6}=\tfrac{7}{6}.
Portanto
\frac{7}{1-(-\tfrac{1}{6})}=\frac{7}{\tfrac{7}{6}}=7\cdot\frac{6}{7}=6.

Resposta

\displaystyle 6