Reconhecer o tipo de série. Se observar a sequência de termos, percebe-se um padrão geométrico alternado. Vou reindexar para facilitar: seja n=k-1. Então, quando k=1,2,\ldots temos n=0,1,2,\ldots e a série fica
Aqui já aparece claramente uma série geométrica com primeiro termo 1 (no somatório) e razão r = -\dfrac{1}{6}.
Passo 3
Relembrando a definição e o critério de convergência para séries geométricas: uma série geométrica tem a forma
\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n},
onde a é o primeiro termo (quando n=0) e r é a razão. Essa série converge se, e somente se, |r|<1. Nesse caso, a soma é dada por
\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n}=\frac{a}{1-r}.
Breve justificativa (útil para a prova): para a soma parcial S_N=\sum_{n=0}^{N}ar^{n} vale a fórmula dos somatórios geométricos
S_N=a\frac{1-r^{N+1}}{1-r},
e se |r|<1 então \lim_{N\to\infty}r^{N+1}=0, logo \lim_{N\to\infty}S_N=\dfrac{a}{1-r}.
Passo 4
Aplicar ao nosso caso: na expressão 7\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^{n} o fator 7 corresponde a a multiplicando a série com primeiro termo 1. Podemos também ver o primeiro termo da série original (quando k=1) como a=7 diretamente e a razão como r=-\dfrac{1}{6}. Verifico o critério de convergência:
|r|=\left|-\frac{1}{6}\right|=\frac{1}{6}<1.
Portanto a série converge (pois |r|<1).
Passo 5
Calcular a soma usando a fórmula da geométrica com a=7 e r=-\dfrac{1}{6}. Assim