Determine se a série converge ou diverge. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informações dadas:
converge ou diverge. Informações dadas:
- O termo geral é
. - Ambos os termos dentro de
são não negativos para todo .
A pergunta é simplesmente: a série infinita acima converge ou diverge? (Justifique.)
Passo 2
Observação importante sobre séries de termos não negativos: se temos duas séries com termos não negativos
e
, e ambas convergem, então a série
também converge, e seu somatório é a soma das somas. Aqui podemos separar a série original em duas séries:
Vou mostrar que cada uma dessas duas séries converge; portanto a série original converge.
Passo 3
Analisando a série
.
Esta é uma série do tipo p-série, isto é, . Conhecimento-chave (explico já por que): a p-série converge se, e somente se,
. Uma justificativa simples usa o teste da integral: considere a função
para
;
é positiva e decrescente quando
. O teste da integral diz que
e
têm o mesmo comportamento (ambos convergem ou divergem). Calculando a integral:
Esta é uma série do tipo p-série, isto é,
Se
, isso dá
Esse limite é finito exatamente quando
, isto é, quando
. No nosso caso
e
, logo a integral converge, portanto a p-série
também converge. (Resumo: p-série com
converge.)
Passo 4
Analisando a série
.
Isto é uma série geométrica com razão . Lembrando a fórmula da soma parcial da série geométrica: para
,
Isto é uma série geométrica com razão
Tomando
e usando
faz
, então a soma infinita é
No nosso caso
e
, portanto a série converge e sua soma é
Então esta componente converge (e, se quiser, converge para
).
Passo 5
Como mostramos que
converge (p-série com
) e que
converge (geométrica com razão
), pela observação do Passo 2 a soma das duas séries
também converge. Além disso, por serem todos os termos não negativos, a convergência é absoluta (isto é,
converge porque
já).
Resposta
Converge.