Determine se a série converge ou diverge. Justifique sua resposta.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n^{3}}+\frac{1}{3^{n}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n^{3}}+\frac{1}{3^{n}}\right)
converge ou diverge. Informações dadas:
  • O termo geral é \displaystyle a_n=\frac{1}{n^{3}}+\frac{1}{3^{n}}.
  • Ambos os termos dentro de a_n são não negativos para todo n.
    A pergunta é simplesmente: a série infinita acima converge ou diverge? (Justifique.)

Passo 2

Observação importante sobre séries de termos não negativos: se temos duas séries com termos não negativos \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_n e \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}y_n, e ambas convergem, então a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(x_n+y_n) também converge, e seu somatório é a soma das somas. Aqui podemos separar a série original em duas séries:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n^{3}}+\frac{1}{3^{n}}\right) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}.
Vou mostrar que cada uma dessas duas séries converge; portanto a série original converge.

Passo 3

Analisando a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}.
Esta é uma série do tipo p-série, isto é, \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}. Conhecimento-chave (explico já por que): a p-série converge se, e somente se, p>1. Uma justificativa simples usa o teste da integral: considere a função f(x)=x^{-p} para x\ge1; f é positiva e decrescente quando p>0. O teste da integral diz que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}} e \displaystyle\int_{1}^{\infty}x^{-p}\,dx têm o mesmo comportamento (ambos convergem ou divergem). Calculando a integral:
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx = \lim_{t\to\infty}\int_{1}^{t} x^{-p}\,dx = \lim_{t\to\infty}\left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{1}^{t}.
Se p\neq1, isso dá
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx = \lim_{t\to\infty}\frac{t^{1-p}-1}{1-p}.
Esse limite é finito exatamente quando 1-p<0, isto é, quando p>1. No nosso caso p=3 e 3>1, logo a integral converge, portanto a p-série
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}} também converge. (Resumo: p-série com p=3 converge.)

Passo 4

Analisando a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}.
Isto é uma série geométrica com razão r=\displaystyle\frac{1}{3}. Lembrando a fórmula da soma parcial da série geométrica: para |r|<1,
\sum_{n=1}^{N} r^{n}=r\frac{1-r^{N}}{1-r}.
Tomando N\to\infty e usando |r|<1 faz r^{N}\to0, então a soma infinita é
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.
No nosso caso r=\frac{1}{3} e |r|<1, portanto a série converge e sua soma é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}=\frac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}}=\frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{2}{3}}=\tfrac{1}{2}.
Então esta componente converge (e, se quiser, converge para \displaystyle\frac{1}{2}).

Passo 5

Como mostramos que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}} converge (p-série com p=3>1) e que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}} converge (geométrica com razão \tfrac{1}{3}), pela observação do Passo 2 a soma das duas séries
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n^{3}}+\frac{1}{3^{n}}\right) também converge. Além disso, por serem todos os termos não negativos, a convergência é absoluta (isto é, \sum |a_n| converge porque a_n\ge0 já).

Resposta

Converge.