Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que analisar a série infinita
e determinar se ela converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries infinitas e aplicar testes de convergência que nos ajudarão a chegar a essa conclusão.
Passo 2
Vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. O termo geral é
. Podemos reescrever isso como:
Observamos que
pode ser simplificado para algo mais manejável.
Passo 3
Note que à medida que
cresce,
se aproxima de 1. Isso porque, dividindo numerador e denominador por
, temos:
Portanto, para grandes valores de
, o termo
é aproximadamente 1.
Passo 4
Com isso, podemos aproximar o termo geral da série por
. Isso nos leva a comparar a série original com a série geométrica
, que sabemos que converge.
Passo 5
Vamos utilizar o Teste da Comparação. Esse teste nos diz que se temos duas séries com todos os termos positivos e
para todo
, então, se a série comparativa
converge, a série original também converge.
Passo 6
De fato, para todo
, temos:
Portanto:
E já sabemos que
é uma série geométrica com razão
, que converge.
Resposta
A série
converge.