Determine se a série converge ou diverge. sumn=1^infty n(n+1) 2^n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que analisar a série infinita sumn=1^infty n(n+1) 2^n e determinar se ela converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries infinitas e aplicar testes de convergência que nos ajudarão a chegar a essa conclusão.

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. O termo geral é n(n+1) 2^n. Podemos reescrever isso como:
nn+1 cdot 12^n
Observamos que nn+1 pode ser simplificado para algo mais manejável.

Passo 3

Note que à medida que n cresce, nn+1 se aproxima de 1. Isso porque, dividindo numerador e denominador por n, temos:
11 + 1n to 1 quando n to infty
Portanto, para grandes valores de n, o termo nn+1 é aproximadamente 1.

Passo 4

Com isso, podemos aproximar o termo geral da série por 12^n. Isso nos leva a comparar a série original com a série geométrica sumn=1^infty 12^n, que sabemos que converge.

Passo 5

Vamos utilizar o Teste da Comparação. Esse teste nos diz que se temos duas séries com todos os termos positivos e n(n+1) 2^n <= 12^n para todo n, então, se a série comparativa sum 12^n converge, a série original também converge.

Passo 6

De fato, para todo n >= 1, temos:
nn+1 <= 1
Portanto:
n(n+1) 2^n <= 12^n
E já sabemos que sumn=1^infty 12^n é uma série geométrica com razão r = 12 < 1, que converge.

Resposta

A série sumn=1^infty n(n+1) 2^n converge.

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