Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente ache a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{3^{n}}+\frac{1}{3 n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{+\infty}\Bigl(\frac{1}{3^{n}}+\frac{1}{3\,n}\Bigr)
e, se convergente, determinar sua soma. O conteúdo envolve séries infinitas, em particular a série geométrica e a série harmônica, e vamos usar a propriedade de linearidade (separar em duas séries) e o fato de que a série harmônica diverge.

Passo 2

Usamos a linearidade da soma de séries para escrever
\sum_{n=1}^{+\infty}\Bigl(\frac{1}{3^{n}}+\frac{1}{3\,n}\Bigr) =\underbrace{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{3^{n}}}_{S_1} \;+\;\underbrace{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{3\,n}}_{S_2}.

Passo 3

A série S_1 é uma série geométrica de termo geral \tfrac{1}{3^n} (razão r=\tfrac13), cujo somatório é
S_1 = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{3^n} = \frac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}} = \frac{1/3}{2/3} = \frac12.

Passo 4

A série S_2 é
S_2 = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{3\,n} = \frac{1}{3}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}.
Mas sabemos que
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}
é a série harmônica, que diverge (não tem soma finita). Logo S_2 também diverge, pois é apenas um múltiplo constante da harmônica.

Passo 5

Como S_2 diverge, a série original
\sum_{n=1}^{+\infty}\Bigl(\frac{1}{3^{n}}+\frac{1}{3\,n}\Bigr)
não pode convergir (soma de uma parte finita com uma parte infinita diverge).

Resposta

A série é divergente.

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