Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente ache a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{3^{n}}-\frac{1}{4^{n}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{3^{n}}-\frac{1}{4^{n}}\Bigr)
e decidir se ela converge ou diverge. Se convergir, queremos também encontrar sua soma. O conteúdo principal aqui é a soma de séries geométricas, já que \frac{1}{3^{n}} e \frac{1}{4^{n}} são termos de duas séries geométricas com razão \tfrac13 e \tfrac14, respectivamente.

Passo 2

Usamos a linearidade da soma infinita para escrever
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{3^{n}}-\frac{1}{4^{n}}\Bigr) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}} \;-\;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4^{n}}.
Cada uma dessas duas séries é geométrica com primeiro termo a=r (no caso r=\tfrac13 ou r=\tfrac14) e razão |r|<1, logo ambas convergem.

Passo 3

Recordando a fórmula da soma de uma série geométrica a partir de n=1,
\sum_{n=1}^{\infty}r^{n} =\frac{r}{1-r}, \quad\text{para}\\ |r|<1,
temos:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}} =\frac{\tfrac13}{1-\tfrac13} =\frac{\tfrac13}{\tfrac23} =\frac12,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4^{n}} =\frac{\tfrac14}{1-\tfrac14} =\frac{\tfrac14}{\tfrac34} =\frac13.

Passo 4

Subtraindo as duas somas, obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{3^{n}}-\frac{1}{4^{n}}\Bigr) =\frac12-\frac13 =\frac{1}{6}.

Resposta

A série converge, e sua soma é \displaystyle \frac{1}{6}.

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