Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache a sua soma.
3.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3}{2 n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3}{2n}
é convergente ou divergente. Se for convergente, pede também a soma. As informações dadas são exatamente os termos gerais da série: para cada n\ge 1 o termo é \dfrac{3}{2n}. Não há outros dados numéricos a extrair.

Passo 2

Definição útil (o que vamos usar): uma série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge se a sequência de somas parciais
S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n
tem limite finito quando N\to\infty. Se esse limite é infinito ou não existe, dizemos que a série diverge.
A primeira observação algébrica simples: o termo \dfrac{3}{2n} é uma constante multiplicando \dfrac{1}{n}. Então podemos escrever a série como
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{2n}=\frac{3}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
Ou seja, a série dada é \dfrac{3}{2} vezes a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}.

Passo 3

Agora preciso decidir sobre a convergência da série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}. Vou usar um teste clássico e muito didático: o teste da integral (que é simples e funciona bem aqui).
Enunciado do teste da integral (caso positivo e monótono): se f(x) é contínua, positiva e decrescente para x\ge 1, então a série \sum_{n=1}^{\infty} f(n) e a integral impropria \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem).
Aplicando com f(x)=\dfrac{1}{x}: essa função é contínua, positiva e decrescente para x\ge1. Calculo a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\,dx=\lim_{t\to\infty}\int_{1}^{t}\frac{1}{x}\,dx =\lim_{t\to\infty}\bigl[\ln x\bigr]_{1}^{t} =\lim_{t\to\infty}\ln t-\ln 1 =\lim_{t\to\infty}\ln t=+\infty.
A integral diverge (vai para +\infty). Pelo teste da integral, a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} também diverge.

Passo 4

Como a série harmônica diverge e a série original é apenas um múltiplo constante dela, a multiplicação por \dfrac{3}{2} não muda o fato de divergir: se \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}=+\infty, então
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{2n}=\frac{3}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=+\infty.
Portanto a série dada diverge (mais precisamente diverge para +\infty). Não existe soma finita.

Resposta

A série diverge (diverge para +\infty).