Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache a sua soma.
3.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3}{2 n}
3.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3}{2 n}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, pede também a soma. As informações dadas são exatamente os termos gerais da série: para cada
o termo é
. Não há outros dados numéricos a extrair.
Passo 2
Definição útil (o que vamos usar): uma série
converge se a sequência de somas parciais
tem limite finito quando
. Se esse limite é infinito ou não existe, dizemos que a série diverge.
A primeira observação algébrica simples: o termo
é uma constante multiplicando
. Então podemos escrever a série como
Ou seja, a série dada é
vezes a série harmônica
.
Passo 3
Agora preciso decidir sobre a convergência da série harmônica
. Vou usar um teste clássico e muito didático: o teste da integral (que é simples e funciona bem aqui).
Enunciado do teste da integral (caso positivo e monótono): se
é contínua, positiva e decrescente para
, então a série
e a integral impropria
têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem).
Aplicando com
: essa função é contínua, positiva e decrescente para
. Calculo a integral imprópria
A integral diverge (vai para
). Pelo teste da integral, a série
também diverge.
Passo 4
Como a série harmônica diverge e a série original é apenas um múltiplo constante dela, a multiplicação por
não muda o fato de divergir: se
, então
Portanto a série dada diverge (mais precisamente diverge para
). Não existe soma finita.
Resposta
A série diverge (diverge para
).