Determine se a série é convergente ou divergente Se for convergente, calcule sua soma:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{e^{2 n}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{e^{2n}}
e, se ela for convergente, encontrar sua soma. Este é um caso de série geométrica infinita, em que cada termo é dado por a_n = ar^{n-1}. Para resolver, vamos identificar o primeiro termo a e a razão r, verificar a condição de convergência \lvert r\rvert<1 e então usar a fórmula da soma.

Passo 2

Comparando com a forma geral da série geométrica \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}, podemos escrever
\frac{1}{e^{2n}} = \Bigl(\frac{1}{e^2}\Bigr)\Bigl(\frac{1}{e^2}\Bigr)^{\,n-1}.
Logo, o primeiro termo é
a = \frac{1}{e^2}
e a razão é
r = \frac{1}{e^2}.
Como e^2>1, temos \lvert r\rvert = 1/e^2 < 1, ou seja, a série converge.

Passo 3

A soma de uma série geométrica convergente \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} é
S = \frac{a}{1 - r}.
Substituindo a = 1/e^2 e r = 1/e^2, obtemos
S = \frac{\tfrac{1}{e^2}}{1 - \tfrac{1}{e^2}} = \frac{\tfrac{1}{e^2}}{\tfrac{e^2-1}{e^2}} = \frac{1}{e^2 - 1}.

Resposta

A série é convergente e sua soma é \displaystyle \frac{1}{e^2 - 1}.

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