Determine se a série é convergente ou divergente Se for convergente, calcule sua soma:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{3^{2 n}}{2^{3 n+1}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\,\frac{3^{2n}}{2^{3n+1}}
Este é um problema de séries numéricas, e vamos precisar reconhecer que tipo de série é (neste caso, uma série geométrica geral) e usar o critério de convergência para séries geométricas.

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral da série de forma mais clara. Note que
3^{2n} = (3^2)^n = 9^n
e
2^{3n+1} = 2\cdot 2^{3n} = 2\cdot (2^3)^n = 2\cdot 8^n.
Logo,
(-1)^{n-1}\,\frac{3^{2n}}{2^{3n+1}} =(-1)^{n-1}\,\frac{9^n}{2\cdot 8^n} =\frac12\,(-1)^{n-1}\Bigl(\frac{9}{8}\Bigr)^n.

Passo 3

Reconhecemos que
a_n = \frac12\,(-1)^{n-1}\Bigl(\frac{9}{8}\Bigr)^n
é o termo geral de uma série geométrica com primeiro termo
a_1 = \frac12\,(-1)^{0}\Bigl(\frac{9}{8}\Bigr)^1 = \frac{9}{16}
e razão
r = -\,\frac{9}{8}.

Passo 4

O critério de convergência para séries geométricas diz que a série
\sum_{n=1}^\infty a_1\,r^{\,n-1}
converge se, e somente se, |r|<1. Aqui temos |r| = \frac{9}{8} > 1. Portanto os termos não tendem a zero e a série não converge.

Resposta

A série é divergente.

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