Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série e provar a resposta. A série dada é
Vou listar as informações úteis que o enunciado fornece:
- O termo geral da série é
. - A pergunta é: a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente?
Passo 2
Primeiro, alguns conceitos rápidos (com explicações bem didáticas):
- Uma série
é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos converge. - Se
converge mas diverge, diz-se que é condicionalmente convergente. - Se
diverge, então é divergente (e não é condicionalmente nem absolutamente convergente).
Essas definições são importantes porque a classificação pedida refere-se exatamente a compararcom .
Passo 3
Observação sobre os sinais dos termos:
- Para todo
temos e . Logo para todo . - Assim
. Portanto estudar a convergência absoluta é o mesmo que estudar a convergência da própria série dada. Se eu provar que converge, automaticamente ela é absolutamente convergente.
Passo 4
Aplicando o teste da razão (um teste simples e eficaz para séries com fator exponencial):
- O teste da razão diz: para uma série com termos positivos
, se existir
então se
a série converge; se
diverge; se
o teste é inconclusivo.
- Calculo a razão entre termos consecutivos:
- Agora faço o limite quando
:
- Como
, pelo teste da razão a série converge.
Passo 5
Conclusão sobre a natureza da convergência:
- Lembre-se do Passo 3: todos os termos são positivos, então
. - Como acabei de provar que
converge, segue que também converge. - Portanto a série é absolutamente convergente (não é condicionalmente convergente, porque a convergência dos módulos já ocorre).
Passo 6
Uma verificação extra (opcional, mas útil para fixar a ideia): calcular o valor da soma usando uma fórmula padrão. Para
vale
Diferenciando termo a termo em relação a
obtemos
multiplicando por
vem
Tomando
obtemos
confirmando de forma explícita que a série converge (e converge para
).
Resposta
A série é absolutamente convergente.