Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
\sum_{n=1}^{+\infty} n\left(\frac{2}{3}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série e provar a resposta. A série dada é
\sum_{n=1}^{+\infty} n\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.
Vou listar as informações úteis que o enunciado fornece:
  • O termo geral da série é a_n = n\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}.
  • A pergunta é: a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente?

Passo 2

Primeiro, alguns conceitos rápidos (com explicações bem didáticas):
  • Uma série \sum a_n é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos \sum |a_n| converge.
  • Se \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverge, diz-se que \sum a_n é condicionalmente convergente.
  • Se \sum a_n diverge, então é divergente (e não é condicionalmente nem absolutamente convergente).
    Essas definições são importantes porque a classificação pedida refere-se exatamente a comparar \sum a_n com \sum |a_n|.

Passo 3

Observação sobre os sinais dos termos:
  • Para todo n\ge 1 temos \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}>0 e n>0. Logo a_n>0 para todo n.
  • Assim |a_n| = a_n. Portanto estudar a convergência absoluta é o mesmo que estudar a convergência da própria série dada. Se eu provar que \sum a_n converge, automaticamente ela é absolutamente convergente.

Passo 4

Aplicando o teste da razão (um teste simples e eficaz para séries com fator exponencial):
  • O teste da razão diz: para uma série com termos positivos \sum a_n, se existir
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n},
então se L<1 a série converge; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.
  • Calculo a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}}{n\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}} =\frac{n+1}{n}\cdot\frac{2}{3}.
  • Agora faço o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\cdot\frac{2}{3} =1\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3}.
  • Como \dfrac{2}{3}<1, pelo teste da razão a série \sum_{n=1}^{\infty} n\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} converge.

Passo 5

Conclusão sobre a natureza da convergência:
  • Lembre-se do Passo 3: todos os termos são positivos, então \sum |a_n| = \sum a_n.
  • Como acabei de provar que \sum a_n converge, segue que \sum |a_n| também converge.
  • Portanto a série é absolutamente convergente (não é condicionalmente convergente, porque a convergência dos módulos já ocorre).

Passo 6

Uma verificação extra (opcional, mas útil para fixar a ideia): calcular o valor da soma usando uma fórmula padrão. Para |r|<1 vale
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r}.
Diferenciando termo a termo em relação a r obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n-1}=\frac{1}{(1-r)^{2}},
multiplicando por r vem
\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n}=\frac{r}{(1-r)^{2}}.
Tomando r=\dfrac{2}{3} obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{2}{3}\right)^{n}=\frac{\tfrac{2}{3}}{\left(1-\tfrac{2}{3}\right)^{2}} =\frac{\tfrac{2}{3}}{\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2}} =\frac{2}{3}\cdot 9=6,
confirmando de forma explícita que a série converge (e converge para 6).

Resposta

A série é absolutamente convergente.