Determine a série de Laurent de 
  para cada um dos domínios abaixo: 
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a série de Laurent da função 
  no domínio onde 
 . Isso significa que queremos expressar essa função como uma série de potências que converge dentro desse círculo de raio 1 no plano complexo. Para isso, vamos precisar usar frações parciais e séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a função 
  em frações parciais. Isso facilita a expansão em série. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por 
  para eliminar os denominadores, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de 
  e 
 . Podemos escolher valores de 
  que simplifiquem a equação:
- Para 
:  
- Para 
:  
Então, a decomposição em frações parciais fica:
Passo 4
Agora, vamos expandir cada termo separadamente em séries de potências válidas para 
 . Vamos reescrever os denominadores para facilitar:
Passo 5
Lembrando que a série geométrica é dada por 
  para 
 . Vamos aplicar isso a cada termo:
- Para 
:  
- Para 
:  
Passo 6
Agora, juntando as duas séries que encontramos:
Simplificando:
Resposta
A série de Laurent de 
  para 
  é: