Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Certifique-se de identificar claramente e justificar o uso de qualquer teste de convergência utilizado.
\sum_{n=3}^{\infty} \frac{\ln (n)^{2}}{\sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=3}^{\infty} \frac{\ln(n)^{2}}{\sqrt{n}}
converge ou diverge, e requer que cada teste de convergência utilizado seja identificado e justificado. As informações dadas são:
  • A soma começa em n=3.
  • O termo geral é a_n=\dfrac{\ln(n)^{2}}{\sqrt{n}}.
  • Deve-se justificar claramente o uso do(s) teste(s).

Passo 2

Observações iniciais e estratégia (o que podemos usar):
  • Cada termo a_n é não-negativo para n\ge3 porque \ln(n)^{2}\ge0 e \sqrt{n}>0.
  • Uma ferramenta simples e adequada aqui é o teste da comparação direta com uma série p-série (séries do tipo \sum 1/n^{p}), cuja convergência é bem conhecida.
    Vou lembrar e justificar rapidamente o critério para p-séries, porque vou usá-lo.

Passo 3

Lembrete/justificação do critério de p\)-séries: - A \(p\)-série \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}\) converge se, e somente se, \(p>1\). - Uma forma rápida de ver isso é pelo teste integral: considere a função \(f(x)=x^{-p}\) para \(x\ge1\). Então \[\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx= \begin{cases} \displaystyle\left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{1}^{\infty}<\infty &\text{se }p>1,\\[6pt] \infty &\text{se }p\le1. \end{cases}
Pelo teste integral (ou por comparação direta conhecida), segue o critério acima. Em particular, para p=\tfrac{1}{2}\] a série \(\sum 1/\sqrt{n} diverge.]

Passo 4

Comparação direta com a p-série divergente:
  • Para n\ge3 temos \ln(n)\ge\ln(3)>1. Assim \ln(n)^{2}\ge1 para todo n\ge3.
  • Portanto, para todo n\ge3,
\frac{\ln(n)^{2}}{\sqrt{n}}\ge\frac{1}{\sqrt{n}}.
  • Já sabemos que \displaystyle\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} diverge (é uma p-série com p=\tfrac{1}{2}\le1). Como os termos dos dois somatórios são não-negativos e a_n\ge b_n com b_n=1/\sqrt{n} cuja série diverge, pela comparação direta concluímos que a série dada também diverge.

Passo 5

Justificativa final e comentário didático:
  • O teste da comparação direta exige que, a partir de algum índice N, tenhamos a_n\ge b_n (ou a_n\le b_n) dependendo do que se quer mostrar. Aqui a desigualdade vale já para todo n\ge3, então é válida.
  • Intuitivamente: \ln(n)^{2} cresce muito lentamente, mas é maior que 1 para n\ge3; multiplicando 1/\sqrt{n} por esse fator não faz a série ficar mais convergente — pelo contrário, torna os termos maiores que os de uma p-série divergente, garantindo a divergência.

Resposta

A série diverge.