Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Certifique-se de identificar claramente e justificar o uso de qualquer teste de convergência utilizado.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge, e requer que cada teste de convergência utilizado seja identificado e justificado. As informações dadas são:
- A soma começa em
. - O termo geral é
. - Deve-se justificar claramente o uso do(s) teste(s).
Passo 2
Observações iniciais e estratégia (o que podemos usar):
- Cada termo
é não-negativo para porque e . - Uma ferramenta simples e adequada aqui é o teste da comparação direta com uma série
-série (séries do tipo ), cuja convergência é bem conhecida.
Vou lembrar e justificar rapidamente o critério para-séries, porque vou usá-lo.
Passo 3
Lembrete/justificação do critério de
Pelo teste integral (ou por comparação direta conhecida), segue o critério acima. Em particular, para
diverge.]
Passo 4
Comparação direta com a
-série divergente:
- Para
temos . Assim para todo . - Portanto, para todo
,
- Já sabemos que
diverge (é uma -série com ). Como os termos dos dois somatórios são não-negativos e com cuja série diverge, pela comparação direta concluímos que a série dada também diverge.
Passo 5
Justificativa final e comentário didático:
- O teste da comparação direta exige que, a partir de algum índice
, tenhamos (ou ) dependendo do que se quer mostrar. Aqui a desigualdade vale já para todo , então é válida. - Intuitivamente:
cresce muito lentamente, mas é maior que para ; multiplicando por esse fator não faz a série ficar mais convergente — pelo contrário, torna os termos maiores que os de uma -série divergente, garantindo a divergência.
Resposta
A série diverge.