Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique: sumn=1^infty cos (n)1+2^n

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na série que a gente tem aqui: . A gente quer descobrir se essa série é convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender sobre séries infinitas e alguns testes de convergência, como o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento geral dos termos da série. Olha só, o numerador é , que sempre está entre -1 e 1. Já o denominador é , que cresce bem rápido porque é uma função exponencial.

Passo 3

Como cresce muito rápido, o denominador também cresce rápido, o que faz com que a fração fique bem pequena quando aumenta. Na verdade, para todo .

Passo 4

Agora, vamos usar o Teste da Comparação. Sabemos que a série é uma série geométrica convergente, porque a razão é menor que 1. Como e a série de comparação converges, então pela comparação, a série original também converge.

Resposta

A série é convergente.

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