Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na série que a gente tem aqui: . A gente quer descobrir se essa série é convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender sobre séries infinitas e alguns testes de convergência, como o Teste da Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento geral dos termos da série. Olha só, o numerador é , que sempre está entre -1 e 1. Já o denominador é , que cresce bem rápido porque é uma função exponencial.
Passo 3
Como cresce muito rápido, o denominador também cresce rápido, o que faz com que a fração fique bem pequena quando aumenta. Na verdade, para todo .
Passo 4
Agora, vamos usar o Teste da Comparação. Sabemos que a série é uma série geométrica convergente, porque a razão é menor que 1. Como e a série de comparação converges, então pela comparação, a série original também converge.