Determine se as séries a seguir convergem absolutamente, convergem (apenas condicionalmente) ou divergem. Justifique cada resposta.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{n+3}{n+5}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n+3}{n+5}
verificando se ela converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Vamos usar o teste da divergência (termo geral não tende a zero) e, em seguida, conferir a convergência absoluta.

Passo 2

Primeiro observamos o termo geral
a_n = (-1)^{n+1}\frac{n+3}{n+5}.
Para qualquer série, se \lim_{n\to\infty}a_n\neq0, então a série diverge. Calculemos
\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}(-1)^{n+1}\frac{n+3}{n+5}.
Como \frac{n+3}{n+5}\to1 e (-1)^{n+1} oscila entre \pm1, o limite \lim_{n\to\infty}a_n não existe (não tende a zero). Logo, pela condição necessária de convergência, a série diverge.

Passo 3

Mesmo se tentássemos a convergência absoluta, olharíamos
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|a_n\bigr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+3}{n+5},
e veríamos que \frac{n+3}{n+5}\to1\neq0, portanto a série de termos positivos também diverge pelo teste do termo geral. Assim, não há convergência absoluta nem condicional.

Resposta

A série diverge.

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