Determine se o sistema com entrada x(t) e saída y(t) definido para cada uma das equações a seguir é inversível. Caso afirmativo, determine o seu inverso:
y(t)=x(a t-b), onde a, b são constantes reais, a \neq 0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar se o sistema dado por y(t)=x(a t-b) é inversível.
  • Caso seja inversível, determinar explicitamente o sistema inverso.
Informações fornecidas:
  • A relação entre entrada e saída é y(t)=x(a t-b).
  • a e b são constantes reais.
  • Foi dada a condição a\neq 0.

Passo 2

O que significa “inversível” aqui (explicação didática): o sistema T que transforma uma entrada x em uma saída y=T\{x\} é inversível se existe um operador T^{-1} tal que, para toda entrada x admissível,
T^{-1}\{T\{x\}\}=x.
Em termos práticos, isso significa que a saída y contém informação suficiente para recuperar x ponto a ponto; não podem existir dois sinais diferentes x_1\neq x_2 que produzam a mesma saída y. Para o sistema dado, T age sobre o tempo da entrada com uma transformação afim do tempo: t\mapsto a t - b. Se essa transformação do tempo for bijetiva, então é possível recuperar x unicamente a partir de y.

Passo 3

Análise da transformação de tempo: definir a variável nova
s = a t - b.
Se a\neq 0, essa é uma transformação afim do eixo temporal que tem inversa bem definida. Resolvendo para t em função de s:
t = \frac{s+b}{a}.
Isso mostra que qualquer instante s (um argumento de x) corresponde a um instante t único e bem definido quando a\neq 0. Portanto, é possível tentar escrever x em função de y trocando as variáveis de forma adequada.

Passo 4

Expressar x em função de y (passo algébrico):
a partir de y(t)=x(a t-b), substitua t por \dfrac{s+b}{a} (essa t é exatamente a solução da equação s=a t-b). Fazendo isso:
y\!\left(\frac{s+b}{a}\right)=x\!\big(a\cdot\frac{s+b}{a}-b\big)=x(s).
Como a igualdade vale para todo s, renomeando s por t obtemos a expressão do sinal de entrada recuperado a partir de y:
x(t)=y\!\left(\frac{t+b}{a}\right).
Essa é a fórmula candidata para o operador inverso T^{-1}.

Passo 5

Verificação por composição (prova direta de que é inverso):
  1. Aplicar T^{-1} depois de T: para qualquer x,
T^{-1}\{T\{x\}\}(t)=T^{-1}\{y\}(t)=y\!\left(\frac{t+b}{a}\right) = x\!\big(a\cdot\frac{t+b}{a}-b\big)=x(t).
  1. Aplicar T depois de T^{-1}: para qualquer y,
T\{T^{-1}\{y\}\}(t)=T\{z\}(t)\quad\text{com }z(t)=y\!\left(\frac{t+b}{a}\right),
então
T\{z\}(t)=z(a t-b)=y\!\left(\frac{a t-b+b}{a}\right)=y(t).
As duas composições retornam as identidades correspondentes, logo T^{-1} realmente é a inversa à direita e à esquerda de T. Portanto o sistema é inversível quando a\neq 0 e o inverso é o operador dado acima.

Passo 6

Comentário sobre a condição a\neq 0 (por que é necessária):
  • Se a=0, a saída seria y(t)=x(-b), que é um sinal constante (independente de t) igual ao valor de x em t=-b. Nesse caso muitos sinais diferentes x que coincidem apenas em t=-b produzirão a mesma y, portanto o sistema não é inversível.
  • Para a\neq 0, a transformação temporal t\mapsto a t - b é bijetiva no conjunto dos tempos, garantindo recuperação ponto a ponto de x.

Passo 7

Interpretação prática (como implementar o inverso):
  • Para recuperar x(t) a partir de y(t) aplicar as operações de tempo correspondentes: avaliar y no argumento \dfrac{t+b}{a}. Em termos de operações elementares isso equivale a uma mudança de escala do tempo (fator 1/a) e uma translação no tempo (deslocamento por b/a), feitas na ordem correta conforme a fórmula encontrada.

Resposta

Sim.
x(t)=y\!\left(\dfrac{t+b}{a}\right)