Determine se o sistema com entrada
e saída
definido para cada uma das equações a seguir é inversível. Caso afirmativo, determine o seu inverso:
, onde a, b são constantes reais,
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar se o sistema dado por
é inversível. - Caso seja inversível, determinar explicitamente o sistema inverso.
Informações fornecidas:
- A relação entre entrada e saída é
. -
e são constantes reais. - Foi dada a condição
.
Passo 2
O que significa “inversível” aqui (explicação didática): o sistema
que transforma uma entrada
em uma saída
é inversível se existe um operador
tal que, para toda entrada
admissível,
Em termos práticos, isso significa que a saída
contém informação suficiente para recuperar
ponto a ponto; não podem existir dois sinais diferentes
que produzam a mesma saída
. Para o sistema dado,
age sobre o tempo da entrada com uma transformação afim do tempo:
. Se essa transformação do tempo for bijetiva, então é possível recuperar
unicamente a partir de
.
Passo 3
Análise da transformação de tempo: definir a variável nova
Se
, essa é uma transformação afim do eixo temporal que tem inversa bem definida. Resolvendo para
em função de
:
Isso mostra que qualquer instante
(um argumento de
) corresponde a um instante
único e bem definido quando
. Portanto, é possível tentar escrever
em função de
trocando as variáveis de forma adequada.
Passo 4
Expressar
em função de
(passo algébrico):
a partir de , substitua
por
(essa
é exatamente a solução da equação
). Fazendo isso:
a partir de
Como a igualdade vale para todo
, renomeando
por
obtemos a expressão do sinal de entrada recuperado a partir de
:
Essa é a fórmula candidata para o operador inverso
.
Passo 5
Verificação por composição (prova direta de que é inverso):
- Aplicar
depois de : para qualquer ,
- Aplicar
depois de : para qualquer ,
então
As duas composições retornam as identidades correspondentes, logo
realmente é a inversa à direita e à esquerda de
. Portanto o sistema é inversível quando
e o inverso é o operador dado acima.
Passo 6
Comentário sobre a condição
(por que é necessária):
- Se
, a saída seria , que é um sinal constante (independente de ) igual ao valor de em . Nesse caso muitos sinais diferentes que coincidem apenas em produzirão a mesma , portanto o sistema não é inversível. - Para
, a transformação temporal é bijetiva no conjunto dos tempos, garantindo recuperação ponto a ponto de .
Passo 7
Interpretação prática (como implementar o inverso):
- Para recuperar
a partir de aplicar as operações de tempo correspondentes: avaliar no argumento . Em termos de operações elementares isso equivale a uma mudança de escala do tempo (fator ) e uma translação no tempo (deslocamento por ), feitas na ordem correta conforme a fórmula encontrada.
Resposta
Sim.