Determine a solução da equação exata 
 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver a equação diferencial exata 
 . Para isso, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais exatas. Precisamos identificar se a equação é realmente exata e, se for, encontrar a função que a satisfaz. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar 
  e 
  na equação. Aqui, temos:
Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se a derivada parcial de 
  em relação a 
  é igual à derivada parcial de 
  em relação a 
 . Isso significa calcular:
Vamos fazer isso.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como 
 , a equação é realmente exata!
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função 
  tal que:
Para isso, integramos 
  em relação a 
 :
Aqui, 
  é uma função de 
  que aparece porque a integração em relação a 
  pode ter uma constante que depende de 
 .
Passo 5
Agora, derivamos 
  em relação a 
  e igualamos à função 
 :
Sabemos que 
 , então:
Isso implica que:
Integrando 
  em relação a 
 :
Onde 
  é a constante de integração.
Passo 6
Substituindo 
  de volta na função 
 :
Para a solução geral da equação diferencial, definimos 
 :
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde 
  é uma constante.