Determine a solução geral de y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+3 y=\frac{1}{1+e^{x}}
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y' + 3y = \frac{1}{1+e^x}.
O conteúdo aqui é resolução de equação linear de segunda ordem: primeiro encontramos a solução geral da homogênea e depois uma particular, usando variação de parâmetros.
Passo 2
Para a homogênea
y'' + 4y' + 3y = 0
montamos a equação característica
r^2 + 4r + 3 = 0
que tem raízes
r = -1,\quad r = -3.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-3x}.
Passo 3
No método de variação de parâmetros tomamos as soluções fundamentais