Determine a solução geral de y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+3 y=\frac{1}{1+e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y' + 3y = \frac{1}{1+e^x}.
O conteúdo aqui é resolução de equação linear de segunda ordem: primeiro encontramos a solução geral da homogênea e depois uma particular, usando variação de parâmetros.

Passo 2

Para a homogênea
y'' + 4y' + 3y = 0
montamos a equação característica
r^2 + 4r + 3 = 0
que tem raízes
r = -1,\quad r = -3.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-3x}.

Passo 3

No método de variação de parâmetros tomamos as soluções fundamentais
y_1 = e^{-x},\quad y_2 = e^{-3x},
o Wronskiano
W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} = e^{-x}\bigl(-3e^{-3x}\bigr)-\bigl(-e^{-x}\bigr)e^{-3x} = -2e^{-4x},
e a função não-homogênea
f(x)=\frac{1}{1+e^x}.

Passo 4

As fórmulas do método dão
u_1' = -\frac{y_2\,f(x)}{W} = -\frac{e^{-3x}}{-2e^{-4x}}\cdot\frac{1}{1+e^x} =\frac{e^x}{2(1+e^x)},
u_2' = \frac{y_1\,f(x)}{W} =\frac{e^{-x}}{-2e^{-4x}}\cdot\frac{1}{1+e^x} =-\frac{e^{3x}}{2(1+e^x)}.

Passo 5

Integramos para achar u_1 e u_2.
Para u_1:
u_1 = \int \frac{e^x}{2(1+e^x)}\,dx =\frac12\int\frac{d(e^x)}{1+e^x} =\frac12\ln\bigl(1+e^x\bigr).
Para u_2: faça t=e^x, dt=e^x dx, então
\int\frac{e^{3x}}{1+e^x}\,dx =\int\frac{t^2}{1+t}\,dt =\int\Bigl(t-1+\frac1{1+t}\Bigr)\,dt =\frac{t^2}{2}-t+\ln(1+t),
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u_2 =-\frac12\Bigl(\frac{e^{2x}}{2}-e^x+\ln(1+e^x)\Bigr).

Passo 6

A solução particular é
y_p = u_1\,y_1 + u_2\,y_2 =\frac12\ln(1+e^x)\,e^{-x} -\frac12\Bigl(\frac{e^{2x}}{2}-e^x+\ln(1+e^x)\Bigr)e^{-3x}.
Fazendo pequenas simplificações, por exemplo
y_p =\frac12\ln(1+e^x)\bigl(e^{-x}-e^{-3x}\bigr) -\frac{e^{-x}}{4}+\frac{e^{-2x}}{2}.

Resposta

A solução geral é
y(x)=C_1 e^{-x}+C_2 e^{-3x} +\frac12\ln(1+e^x)\bigl(e^{-x}-e^{-3x}\bigr) -\frac{e^{-x}}{4}+\frac{e^{-2x}}{2}.

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