Determine a solução geral de y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+3 y=\frac{1}{1+e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear não homogênea
y'' + 4y' + 3y = \frac1{1+e^x}.
O método será: 1) achar a solução geral da homogênea, 2) encontrar uma particular por variação de parâmetros e 3) somar as duas.

Passo 2

A equação característica da parte homogênea
y'' + 4y' + 3y = 0
é
\lambda^2 + 4\lambda + 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = -1,\;-3.
Logo a solução geral homogênea é
y_c = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-3x}.

Passo 3

Para variação de parâmetros tomamos as duas soluções fundamentais
y_1 = e^{-x},\quad y_2 = e^{-3x}.
Então buscamos
y_p = u_1(x)\,y_1 + u_2(x)\,y_2
com
u_1' = -\frac{f(x)\,y_2}{W},\qquad u_2' = \frac{f(x)\,y_1}{W},
onde f(x)=\tfrac1{1+e^x} e W é o wronskiano de y_1,y_2.

Passo 4

Calculemos o wronskiano
W = \det\begin{pmatrix}e^{-x} & e^{-3x}\\\\ -e^{-x} & -3e^{-3x}\end{pmatrix} = -2e^{-4x}.
Assim
u_1' = -\frac{\tfrac1{1+e^x}\,e^{-3x}}{-2e^{-4x}} = \frac{e^x}{2\,(1+e^x)}, \qquad u_2' = \frac{\tfrac1{1+e^x}\,e^{-x}}{-2e^{-4x}} = -\frac{e^{3x}}{2\,(1+e^x)}.

Passo 5

Integramos cada um:
u_1 = \int \frac{e^x}{2(1+e^x)}\,dx = \frac12\ln\bigl(1+e^x\bigr).
Para u_2 usamos a divisão
\frac{e^{3x}}{1+e^x} = e^{2x}-e^x+1-\frac1{1+e^x},
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\int\frac{e^{3x}}{1+e^x}dx =\frac12e^{2x}-e^x+x-\ln\!\frac{e^x}{1+e^x}
e
u_2 =-\tfrac12\int\frac{e^{3x}}{1+e^x}dx =-\frac14e^{2x}+\frac12e^x-\frac12\ln\bigl(1+e^x\bigr).

Passo 6

Agora
y_p = u_1\,e^{-x}+u_2\,e^{-3x} = \frac12e^{-x}\ln(1+e^x) -\frac14e^{-x} +\frac12e^{-2x} -\frac12e^{-3x}\ln(1+e^x).
A solução geral da não homogênea é
y = y_c + y_p = C_1e^{-x}+C_2e^{-3x} +\frac12\bigl(e^{-x}-e^{-3x}\bigr)\ln(1+e^x) -\frac14e^{-x}+\frac12e^{-2x}.

Resposta

\boxed{ y = C_1e^{-x}+C_2e^{-3x} +\tfrac12\bigl(e^{-x}-e^{-3x}\bigr)\ln(1+e^x) -\tfrac14e^{-x} +\tfrac12e^{-2x}. }

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