Determine a solução geral de y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}=\frac{e^{2 x}}{1+e^{2 x}}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação linear de segunda ordem não-homogênea
y''-2y'=\frac{e^{2x}}{1+e^{2x}}.
O conteúdo envolvido é “equações lineares de 2.º grau com coeficientes constantes” e “variação de parâmetros” (ou primeiro reduzir a um problema de primeira ordem). A ideia é:
  1. Encontrar a solução geral y_h da homogênea y''-2y'=0.
  2. Obter uma solução particular y_p da não-homogênea, por variação de parâmetros.
  3. Somar y_h+y_p.

Passo 2

Determinamos a homogênea
y''-2y'=0.
A característica é
r^2-2r=0\quad\Longrightarrow\quad r(r-2)=0\;\;\Longrightarrow\;r=0,\,2.
Logo
y_h(x)=C_1\cdot e^{0\cdot x}+C_2\cdot e^{2x}=C_1 + C_2 e^{2x}.

Passo 3

Usamos variação de parâmetros. Tomamos as duas soluções independentes
y_1(x)=1,\qquad y_2(x)=e^{2x},
e procuramos
y_p(x)=u_1(x)\,y_1(x)+u_2(x)\,y_2(x)=u_1(x)+u_2(x)e^{2x}.
O sistema para u_1',u_2'\) é \[\begin{cases} u_1'(x)\,y_1(x)+u_2'(x)\,y_2(x)=0,\\\ u_1'(x)\,y_1'(x)+u_2'(x)\,y_2'(x)=f(x), \end{cases}
onde f(x)=\dfrac{e^{2x}}{1+e^{2x}}\]. Como \(y_1'=0, y_2'=2e^{2x}, obtemos
\begin{cases} u_1'(x)+u_2'(x)e^{2x}=0,\\\ \phantom{u_1'(x)}+2e^{2x}\,u_2'(x)=\dfrac{e^{2x}}{1+e^{2x}}. \end{cases}
Dessa forma
\begin{aligned} u_2'(x)\bigl(e^{2x}\bigr)&=-\,u_1'(x)\quad\Longrightarrow\quad u_1'(x)=-\,u_2'(x)e^{2x},\\\\ 2e^{2x}\,u_2'(x)&=\frac{e^{2x}}{1+e^{2x}} \quad\Longrightarrow\quad u_2'(x)=\frac{1}{2\bigl(1+e^{2x}\bigr)}. \end{aligned}

Passo 4

Integramos u_2':
u_2(x)=\frac12\int\frac{dx}{1+e^{2x}} =\frac12\Bigl[x-\frac12\ln\bigl(1+e^{2x}\bigr)\Bigr]+K_2.
Escolhendo a constante de integração K_2=0 (ela gera parte homogênea), ficamos com
u_2(x)=\frac12\,x-\frac14\ln\bigl(1+e^{2x}\bigr).
Em seguida
u_1'(x)=-e^{2x}\,u_2'(x) =-\frac{e^{2x}}{2\bigl(1+e^{2x}\bigr)} =-\frac12+\frac{1}{2\bigl(1+e^{2x}\bigr)},
onde usamos \frac{e^{2x}}{1+e^{2x}}=1-\frac1{1+e^{2x}}. Logo
u_1'(x)=-\frac12+\frac1{2\bigl(1+e^{2x}\bigr)} \quad\Longrightarrow\quad u_1(x)=-\frac12\,x+\frac14\ln\bigl(1+e^{2x}\bigr)+K_1.
Tomamos K_1=0 para não gerar parte homogênea extra.

Passo 5

Formamos a solução particular
y_p(x)=u_1(x)+u_2(x)e^{2x} =-\frac12\,x+\frac14\ln\bigl(1+e^{2x}\bigr) +\Bigl(\frac12\,x-\frac14\ln\bigl(1+e^{2x}\bigr)\Bigr)e^{2x}.
Pode-se reorganizar, por exemplo assim:
y_p(x) =\frac12\,x\,e^{2x} -\frac14\bigl(1+e^{2x}\bigr)\ln\bigl(1+e^{2x}\bigr).

Resposta

A solução geral é
\boxed{ y(x)=C_1 + C_2 e^{2x} +\frac12\,x\,e^{2x} -\frac14\bigl(1+e^{2x}\bigr)\ln\bigl(1+e^{2x}\bigr), }
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.

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