Determine a solução geral do problema de valor inicial dado:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 \cdot \frac{d y}{d x}-3 y=3 x e^{2 x}, y(0)=1, \frac{d y}{d x}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial dado por
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 2 \frac{dy}{dx} - 3y = 3x e^{2x}, \quad y(0)=1,\quad \frac{dy}{dx}(0)=0.
O conteúdo envolve EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo do tipo polinômio vezes exponencial. Vamos buscar a solução geral como
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x),
onde y_{h} resolve a homogênea e y_{p} é uma particular.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos a equação característica
r^{2}-2r-3=0,
cuja solução é
r=3,\quad r=-1.
Logo
y_{h}(x)=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-x}.

Passo 3

Procuramos uma particular da forma
y_{p}(x)=(Ax+B)e^{2x}.
Calculando derivadas:
y_{p}'=(2A\,x+2B+A)e^{2x}, \quad y_{p}''=(4A\,x+4A+4B)e^{2x}.
Substituindo em y''-2y'-3y=3x e^{2x} resulta
(-3A\,x+2A-3B)e^{2x}=3x e^{2x},
de onde
-3A=3,\quad 2A-3B=0 \quad\Longrightarrow\quad A=-1,\;B=-\tfrac{2}{3}.
Assim
y_{p}(x)=\bigl(-x-\tfrac{2}{3}\bigr)e^{2x}.

Passo 4

A solução geral é
y(x)=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-x}+\bigl(-x-\tfrac{2}{3}\bigr)e^{2x}.
Usando y(0)=1 e calculando
y(0)=C_{1}+C_{2}-\tfrac{2}{3}=1,
y'(x)=3C_{1}e^{3x}-C_{2}e^{-x}+(-2x-\tfrac{7}{3})e^{2x},
y'(0)=3C_{1}-C_{2}-\tfrac{7}{3}=0,
obtemos o sistema
C_{1}+C_{2}=\tfrac{5}{3}, \quad 3C_{1}-C_{2}=\tfrac{7}{3},
cuja solução é C_{1}=1, C_{2}=\tfrac{2}{3}.

Passo 5

Substituindo C_{1} e C_{2} na solução geral, fica
y(x)=e^{3x}+\tfrac{2}{3}e^{-x}-\bigl(x+\tfrac{2}{3}\bigr)e^{2x}.

Resposta

y(x)=e^{3x}+\tfrac{2}{3}e^{-x}-\bigl(x+\tfrac{2}{3}\bigr)e^{2x}.

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