Determine a solução geral do problema de valor inicial dado:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=x, y(0)=3, y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do problema de valor inicial para a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + y = x,
sujeita às condições y(0)=3 e y'(0)=1. Vamos usar o método de coeficientes indeterminados para achar uma solução particular e resolver a homogênea para, em seguida, aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Resolvendo a equação homogênea
y_h'' - 2y_h' + y_h = 0
montamos a equação característica
r^2 - 2r + 1 = 0,
que tem raiz dupla r=1. Logo
y_h(x) = C_1 e^x + C_2\,x e^x.

Passo 3

Para achar uma solução particular y_p da equação completa
y'' - 2y' + y = x
tentamos o palpite polinomial de grau 1:
y_p(x) = A x + B.
Então
y_p' = A, \quad y_p'' = 0,
e substituindo no lado esquerdo:
0 - 2A + (A x + B) = A x + (B - 2A).
Para isso igualar a x, precisamos de
A = 1, \quad B - 2A = 0 \;\Longrightarrow\; B = 2.
Assim
y_p(x) = x + 2.

Passo 4

A solução geral é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^x + C_2\,x e^x + x + 2.
Para aplicar as condições iniciais, calculamos
y'(x) = C_1 e^x + C_2 e^x(x+1) + 1.

Passo 5

Usando y(0)=3:
y(0) = C_1 + 0 + 0 + 2 = 3 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = 1.
Usando y'(0)=1:
y'(0) = C_1 + C_2 + 1 = 1 \quad\Longrightarrow\quad 1 + C_2 + 1 = 1 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = -1.

Resposta

y(x) = e^x - x e^x + x + 2.

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