Determine a solução geral das seguintes equações:
\frac{d^{4} y}{d x^{4}}-2 \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=x^{3}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de quarta ordem com coeficientes constantes
\frac{d^{4}y}{dx^{4}} \;-\;2\,\frac{d^{3}y}{dx^{3}} \;+\;\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = x^{3}.
Para resolver, vamos separar em parte complementar (solução da homogênea) e parte particular (uma função polinomial que anula o termo não-homogêneo).

Passo 2

A parte complementar y_{c} vem da equação homogênea
y^{(4)} - 2\,y^{(3)} + y'' = 0,
cuja equação característica é
r^{4} - 2r^{3} + r^{2} = r^{2}(r-1)^{2} = 0.
Os raízes são r=0 (multiplicidade 2) e r=1 (multiplicidade 2). Logo
y_{c} = C_{1} + C_{2}\,x \;+\; C_{3}\,e^{x} \;+\; C_{4}\,x\,e^{x}.

Passo 3

Para a parte particular y_{p}, o termo não-homogêneo é o polinômio x^{3}. Como a raiz r=0 da homogênea tem multiplicidade 2, multiplicamos o ansatz polinomial usual por x^{2}. Assim, supomos
y_{p} = a\,x^{5} + b\,x^{4} + c\,x^{3} + d\,x^{2}.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_{p}\): \[\begin{aligned} y_{p} &= a x^{5} + b x^{4} + c x^{3} + d x^{2},\\\ y_{p}' &= 5a x^{4} + 4b x^{3} + 3c x^{2} + 2d x,\\\ y_{p}'' &= 20a x^{3} + 12b x^{2} + 6c x + 2d,\\\ y_{p}''' &= 60a x^{2} + 24b x + 6c,\\\ y_{p}'''' &= 120a x + 24b. \end{aligned}
Substituindo em y'''' -2y''' + y'' = x^{3}, obtemos
120a x + 24b \;-\;2\bigl(60a x^{2} +24b x +6c\bigr) \;+\;\bigl(20a x^{3} +12b x^{2} +6c x +2d\bigr) = x^{3}.
Agrupando potências de x:
\underbrace{20a}_{x^{3}}\,x^{3} +\underbrace{(-120a+12b)}_{x^{2}}\,x^{2} +\underbrace{(120a-48b+6c)}_{x}\,x +\underbrace{(24b-12c+2d)}_{1} = x^{3}.
Igualando coeficientes a x^{3}+0x^{2}+0x+0, vem:
\begin{cases} 20a = 1,\\\\ -120a +12b = 0,\\\\ 120a -48b +6c = 0,\\\\ 24b -12c +2d = 0. \end{cases}
Da primeira equação (a=\tfrac1{20}]. Substituindo nas demais:
-120\cdot\tfrac1{20}+12b=0\;\Rightarrow\;b=\tfrac12,
120\cdot\tfrac1{20}-48\cdot\tfrac12+6c=0\;\Rightarrow\;6-24+6c=0\;\Rightarrow\;c=3,
24\cdot\tfrac12 -12\cdot3 +2d =0\;\Rightarrow\;12-36+2d=0\;\Rightarrow\;d=12.
Logo
y_{p} = \tfrac1{20}\,x^{5} + \tfrac12\,x^{4} + 3\,x^{3} + 12\,x^{2}.

Passo 5

A solução geral é a soma das duas partes:
y(x) = y_{c}(x) + y_{p}(x) = C_{1} + C_{2}\,x + C_{3}\,e^{x} + C_{4}\,x\,e^{x} + \frac{1}{20}\,x^{5} + \frac12\,x^{4} + 3\,x^{3} + 12\,x^{2}.

Resposta

y(x) = C_{1} + C_{2}\,x + C_{3}\,e^{x} + C_{4}\,x\,e^{x} + \frac{1}{20}\,x^{5} + \frac12\,x^{4} + 3\,x^{3} + 12\,x^{2}.

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