Determine a solução geral das seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de quarta ordem com coeficientes constantes
Para resolver, vamos separar em parte complementar (solução da homogênea) e parte particular (uma função polinomial que anula o termo não-homogêneo).
Passo 2
A parte complementar
vem da equação homogênea
cuja equação característica é
Os raízes são
(multiplicidade 2) e
(multiplicidade 2). Logo
Passo 3
Para a parte particular
, o termo não-homogêneo é o polinômio
. Como a raiz
da homogênea tem multiplicidade 2, multiplicamos o ansatz polinomial usual por
. Assim, supomos
Passo 4
Calculamos as derivadas de
Substituindo em
, obtemos
Agrupando potências de
:
Igualando coeficientes a
, vem:
Da primeira equação (a=\tfrac1{20}]. Substituindo nas demais:
Logo
Passo 5
A solução geral é a soma das duas partes: