Determine a solução geral das siguentes edo’s não homogêneas, utilizando o método de coeficientes por determinar:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
e pede a solução geral. Vamos usar o método clássico: primeiro encontramos a solução geral da homogênea
a partir da equação característica, depois construímos uma solução particular
por coeficientes a determinar, somamos
e obtemos a solução geral.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
A equação característica é
Resolvendo,
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para a parte particular, separamos o termo não homogêneo em
e
. Fazemos a soma de duas tentativas:
Então
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo em
e igualando a
:
Comparando coeficientes:
Portanto
.
Passo 5
Agora para
temos
Substituindo em
e igualando a
:
Logo
.
Passo 6
Juntando
e a solução geral é