Determine a solução geral das siguentes edo’s não homogêneas, utilizando o método de coeficientes por determinar:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=5 x-2+4 e^{x}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-2y'+5y=5x-2+4e^{x},
e pede a solução geral. Vamos usar o método clássico: primeiro encontramos a solução geral da homogênea y_h a partir da equação característica, depois construímos uma solução particular y_p por coeficientes a determinar, somamos y_h+y_p e obtemos a solução geral.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y''-2y'+5y=0.
A equação característica é
r^2-2r+5=0.
Resolvendo,
r = \frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot5}}{2} = \frac{2\pm\sqrt{-16}}{2} = 1\pm 2i.
Logo a solução homogênea é
y_h = e^x\bigl(C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)\bigr).

Passo 3

Para a parte particular, separamos o termo não homogêneo em 5x-2 e 4e^x. Fazemos a soma de duas tentativas:
y_{p1} = Ax + B \quad\text{e}\quad y_{p2} = C\,e^x.
Então
y_p = Ax+B + C e^x.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_{p1}:
y_{p1}' = A, \quad y_{p1}'' = 0.
Substituindo em y''-2y'+5y e igualando a 5x-2:
0 -2A +5(Ax+B) = 5Ax + (5B -2A) \equiv 5x -2.
Comparando coeficientes:
5A=5\implies A=1, \quad 5B-2A=-2\implies 5B-2=-2\implies B=0.
Portanto y_{p1}=x.

Passo 5

Agora para y_{p2}=C e^x temos
y_{p2}'=C e^x, \quad y_{p2}''=C e^x.
Substituindo em y''-2y'+5y e igualando a 4e^x:
C e^x -2C e^x +5C e^x = (1-2+5)C e^x =4C e^x \equiv 4e^x \implies 4C=4\implies C=1.
Logo y_{p2}=e^x.

Passo 6

Juntando
y_p = y_{p1}+y_{p2} = x + e^x,
e a solução geral é
y = y_h + y_p = e^x\bigl(C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)\bigr) + x + e^x.

Resposta

y(x)=e^x\bigl(C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)\bigr)+x+e^x.

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