Determine a solução geral de y^{\prime \prime}+y=\frac{1}{\sin x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação não-homogênea
y''+y=\frac1{\sin x}.
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com termo não-homogêneo. Para resolver, vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois uma solução particular por variação de parâmetros.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y''+y=0.
A equação característica é r^2+1=0, cujas raízes são r=\pm i. Portanto a solução geral da homogênea é
y_h=C_1\cos x+C_2\sin x.

Passo 3

Para obter uma solução particular y_p usamos variação de parâmetros com as soluções fundamentais y_1=\cos x e y_2=\sin x.
O Wronskiano vale
W=y_1y_2'-y_1'y_2=\cos x\cdot\cos x-(-\sin x)\cdot\sin x=1.
As fórmulas de variação de parâmetros dão
u_1'=-\frac{y_2\,f(x)}{W}=-\sin x\cdot\frac1{\sin x}=-1, \quad u_2'=\frac{y_1\,f(x)}{W}=\cos x\cdot\frac1{\sin x}=\cot x.

Passo 4

Integramos para achar u_1 e u_2:
u_1=-\int1\,dx=-x, \qquad u_2=\int\cot x\,dx=\ln\bigl|\sin x\bigr|.
Assim
y_p=u_1\,y_1+u_2\,y_2=-x\cos x+\sin x\ln\bigl|\sin x\bigr|.
Logo a solução geral da equação original é
y=y_h+y_p =C_1\cos x+C_2\sin x-x\cos x+\sin x\ln\bigl|\sin x\bigr|.

Resposta

y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x-x\cos x+\sin x\ln\bigl|\sin x\bigr|.

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