Determine a solução geral de
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo:
O que vamos usar:
- Resolver primeiro a equação homogênea associada usando a equação característica.
- Achar uma solução particular por método dos coeficientes a determinar, supondo uma combinação de
e . - Somar as duas partes para obter a solução geral.
Passo 2
Equação homogênea:
A equação característica é
Resolvendo,
logo
Assim a solução geral da homogênea é
com
constantes arbitrárias.
Passo 3
Procuramos uma solução particular da forma
onde
e
são constantes a determinar. Calculamos derivadas:
Substituindo em
:
Isso deve ser igual a
, ou seja,
Da segunda equação
. Substituindo na primeira:
Logo
Passo 4
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
Resposta
com
constantes arbitrárias.