Determine a solução geral de y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=\cos x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo:
y''-y'-2y=\cos x.
O que vamos usar:
  1. Resolver primeiro a equação homogênea associada usando a equação característica.
  2. Achar uma solução particular por método dos coeficientes a determinar, supondo uma combinação de \cos x e \sin x.
  3. Somar as duas partes para obter a solução geral.

Passo 2

Equação homogênea:
y''-y'-2y=0.
A equação característica é
r^2 - r - 2 = 0.
Resolvendo,
r = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2},
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r_1 = 2,\quad r_2 = -1.
Assim a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x},
com C_1,C_2 constantes arbitrárias.

Passo 3

Procuramos uma solução particular da forma
y_p(x) = A\cos x + B\sin x,
onde A e B são constantes a determinar. Calculamos derivadas:
y_p' = -A\sin x + B\cos x,\quad y_p'' = -A\cos x - B\sin x.
Substituindo em y''-y'-2y:
(-A\cos x - B\sin x) -(-A\sin x + B\cos x) -2(A\cos x + B\sin x)
=(-A - B -2A)\cos x \;+\;(A - B -2B)\sin x
=(-3A - B)\cos x \;+\;(A -3B)\sin x.
Isso deve ser igual a \cos x, ou seja,
-3A - B = 1,\qquad A - 3B = 0.
Da segunda equação A=3B. Substituindo na primeira:
-3(3B)-B = 1\;\Longrightarrow\;-10B=1\;\Longrightarrow\;B=-\tfrac{1}{10},\; A=3B=-\tfrac{3}{10}.
Logo
y_p(x) = -\frac{3}{10}\cos x \;-\;\frac{1}{10}\sin x.

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} -\frac{3}{10}\cos x - \frac{1}{10}\sin x.

Resposta

y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} - \tfrac{3}{10}\cos x - \tfrac{1}{10}\sin x,
com C_1,C_2 constantes arbitrárias.

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