Determine a solução geral de y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=e^{x}+x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + y = e^x + x.
Para resolver, vamos encontrar a solução complementar (da parte homogênea) e em seguida uma solução particular para cada termo do lado direito.

Passo 2

Começamos pela parte homogênea
y'' - 2y' + y = 0.
A equação característica é
r^2 - 2r + 1 = 0,
que tem raiz dupla r=1. Logo a solução complementar é
y_h = C_1 e^x + C_2\,x e^x,
onde C_1 e C_2 são constantes de integração.

Passo 3

Agora achamos uma solução particular para o termo e^x. Como e^x já aparece em y_h, usamos o chute
y_{p1} = A\,x^2 e^x.
Calculamos as derivadas:
y'_{p1} = A\,\bigl(2x e^x + x^2 e^x\bigr) = A e^x(x^2 + 2x),
y''_{p1} = A e^x(x^2 + 4x + 2).
Substituindo em y'' - 2y' + y:
y''_{p1}-2y'_{p1}+y_{p1} = A e^x\bigl[(x^2+4x+2)-2(x^2+2x)+x^2\bigr] = 2A\,e^x.
Para igualar a e^x precisamos de 2A=1, logo
A = \tfrac12.

Passo 4

Em seguida fazemos uma particular para o termo polinomial x. O chute padrão é
y_{p2} = Bx + C.
Então
y'_{p2} = B,\quad y''_{p2}=0,
e
y''_{p2}-2y'_{p2}+y_{p2} = 0 - 2B + (Bx + C) = Bx + (C - 2B).
Para que isso seja igual a x, comparamos coeficientes:
- Coeficiente de x: B = 1.
- Termo constante: C - 2B = 0 C = 2.

Passo 5

A solução particular completa é
y_p = y_{p1} + y_{p2} = \tfrac12\,x^2 e^x + (x + 2).
Somando com a complementar, a solução geral fica
y = y_h + y_p = C_1 e^x + C_2\,x e^x + \tfrac12\,x^2 e^x + x + 2.

Resposta

y(x) = C_1 e^x + C_2\,x e^x + \tfrac12\,x^2 e^x + x + 2,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados