Determine a solução geral de
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Para resolver, vamos encontrar a solução complementar (da parte homogênea) e em seguida uma solução particular para cada termo do lado direito.
Passo 2
Começamos pela parte homogênea
A equação característica é
que tem raiz dupla
. Logo a solução complementar é
onde
e
são constantes de integração.
Passo 3
Agora achamos uma solução particular para o termo
. Como
já aparece em
, usamos o chute
Calculamos as derivadas:
Substituindo em
:
Para igualar a
precisamos de
, logo
Passo 4
Em seguida fazemos uma particular para o termo polinomial
. O chute padrão é
Então
e
Para que isso seja igual a
, comparamos coeficientes:
- Coeficiente de :
.
- Termo constante: dá
.
- Coeficiente de
- Termo constante:
Passo 5
A solução particular completa é
Somando com a complementar, a solução geral fica
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias.