Determine a solução geral de y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=x^{6} e^{x} \cos x

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial não homogênea
y''-2y'+y = x^{6} e^{x}\cos x.
Informações dadas e o que se pede:
  • A equação é linear de coeficientes constantes, de segunda ordem.
  • O lado direito é um produto de um polinômio x^{6} por e^{x}\cos x.
  • Queremos encontrar a solução geral y(x)=y_h(x)+y_p(x), onde y_h é a solução geral da homogênea e y_p é uma particular para o lado direito.

Passo 2

Resolvo primeiro a equação homogênea associada:
y''-2y'+y=0.
A equação característica é
r^{2}-2r+1=0.
Resolvendo: isto é (r-1)^{2}=0, logo temos raiz dupla r=1 (multiplicidade 2). Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Estratégia para y_p:
  • Como o lado direito é x^{6}e^{x}\cos x, é conveniente usar o método dos coeficientes indeterminados via complexificação: considere o número complexo \alpha=1+i e a função complexa
z(x)=e^{(1+i)x}R(x),
onde R(x) é um polinômio (complexo) que vamos determinar; então a parte real de z fornece uma solução particular real para o termo e^{x}\cos x.
  • Para operadores polinomiais L(D) com coeficientes constantes vale a identidade
L(D)\big[e^{\alpha x}R(x)\big]=e^{\alpha x}L(\alpha+D)[R(x)],
onde D=\dfrac{d}{dx} age sobre R. Aqui L(r)=r^{2}-2r+1.

Passo 4

Aplicando isso com \alpha=1+i e exigindo L(D)[z]=e^{(1+i)x}x^{6} obtemos, dividindo por e^{(1+i)x},
L(1+i + D)[R(x)] = x^{6}.
Como L(r)=r^{2}-2r+1, seus derivados são L'(r)=2r-2 e L''(r)=2. Expandindo L(1+i+D) (polinômio de grau 2 em D) obtemos a equação diferencial para R:
R'' + L'(1+i)\,R' + L(1+i)\,R = x^{6}.
Calcular as constantes:
L(1+i)=(1+i)^{2}-2(1+i)+1 = -1,
L'(1+i)=2(1+i)-2 = 2i.
Portanto a equação para R(x) é
R'' + 2i\,R' - R = x^{6}.

Passo 5

Proponho R(x) como polinômio de grau 6:
R(x)=\sum_{k=0}^{6} c_{k} x^{k},
com c_{k} complexos desconhecidos. Calculo R' e R'':
R'(x)=\sum_{k=1}^{6} k c_{k} x^{k-1},\qquad R''(x)=\sum_{k=2}^{6} k(k-1)c_{k} x^{k-2}.
Substituo em R''+2iR'-R=x^{6} e igualo coeficientes de potências de x. Vou fazer isso de grau mais alto para baixo (mais direto porque R'' reduz grau).

Passo 6

Comparando coeficiente de x^{6}:
  • Vem apenas de -R: -c_{6}=1. Logo
c_{6}=-1.
Coeficiente de x^{5}:
  • De -R: -c_{5}.
  • De 2iR': 2i\cdot 6 c_{6}=12i c_{6}.
  • De R'': não contribui em x^{5}.
    Igualando a zero (lado direito tem coeficiente 0 em x^{5}):
-c_{5}+12i c_{6}=0 \implies c_{5}=12i c_{6}=12i(-1)=-12i.
Coeficiente de x^{4}:
  • De -R: -c_{4}.
  • De 2iR': 2i\cdot 5 c_{5}=10i c_{5}.
  • De R'': 6\cdot5 c_{6}=30 c_{6}.
    Somando e igualando a zero:
30 c_{6}+10i c_{5}-c_{4}=0 \implies c_{4}=30 c_{6}+10i c_{5}.
Substituindo c_{6}=-1, c_{5}=-12i:
c_{4}=30(-1)+10i(-12i)=-30+10\cdot(-12)i^{2}=-30+120=90.

Passo 7

Coeficiente de x^{3}:
  • De -R: -c_{3}.
  • De 2iR': 2i\cdot 4 c_{4}=8i c_{4}.
  • De R'': 5\cdot4 c_{5}=20 c_{5}.
    Igualando a zero:
20 c_{5}+8i c_{4}-c_{3}=0 \implies c_{3}=20 c_{5}+8i c_{4}.
Substituindo c_{5}=-12i, c_{4}=90:
c_{3}=20(-12i)+8i\cdot 90 = -240i +720i =480i.
Coeficiente de x^{2}:
  • De -R: -c_{2}.
  • De 2iR': 2i\cdot 3 c_{3}=6i c_{3}.
  • De R'': 4\cdot3 c_{4}=12 c_{4}.
    Igualando a zero:
12 c_{4}+6i c_{3}-c_{2}=0 \implies c_{2}=12 c_{4}+6i c_{3}.
Substituindo c_{4}=90, c_{3}=480i:
c_{2}=12\cdot90+6i\cdot 480i =1080 +6\cdot480\,i^{2}=1080-2880=-1800.

Passo 8

Coeficiente de x^{1}:
  • De -R: -c_{1}.
  • De 2iR': 2i\cdot 2 c_{2}=4i c_{2}.
  • De R'': 3\cdot2 c_{3}=6 c_{3}.
    Igualando a zero:
6 c_{3}+4i c_{2}-c_{1}=0 \implies c_{1}=6 c_{3}+4i c_{2}.
Substituindo c_{3}=480i, c_{2}=-1800:
c_{1}=6\cdot 480i +4i\cdot(-1800) =2880i -7200i = -4320i.
Coeficiente de x^{0} (constante):
  • De -R: -c_{0}.
  • De 2iR': 2i\cdot 1 c_{1}=2i c_{1}.
  • De R'': 2\cdot1 c_{2}=2 c_{2}.
    Igualando ao coeficiente do lado direito (que é 0 para potências inferiores a 6, exceto que já tratamos x^6):
2 c_{2}+2i c_{1}-c_{0}=0 \implies c_{0}=2 c_{2}+2i c_{1}.
Substituindo c_{2}=-1800, c_{1}=-4320i:
c_{0}=2(-1800)+2i(-4320i)=-3600 +2\cdot(-4320)i^{2} = -3600 +8640 =5040.

Passo 9

Agora temos todos os coeficientes complexos c_{k}:
\begin{aligned} c_{6}&=-1, & c_{5}&=-12i, & c_{4}&=90,\\\ c_{3}&=480i, & c_{2}&=-1800, & c_{1}&=-4320i, & c_{0}&=5040. \end{aligned}
Escrevo R(x)=A(x)+iB(x) com A,B polinômios reais (separando parte real e imaginária). Assim:
A(x)=-x^{6}+90x^{4}-1800x^{2}+5040,
B(x)=-12x^{5}+480x^{3}-4320x.
A solução particular real é a parte real de z=e^{(1+i)x}R(x). Calculando a parte real (ver demonstração rápida: \Re\{(A+iB)e^{i x}\}=A\cos x - B\sin x) obtemos
y_p(x)=e^{x}\big(A(x)\cos x - B(x)\sin x\big).
Substituindo A e B:
y_p(x)=e^{x}\Big(\big(-x^{6}+90x^{4}-1800x^{2}+5040\big)\cos x - \big(-12x^{5}+480x^{3}-4320x\big)\sin x\Big).
Podemos simplificar o sinal em B se desejar:
y_p(x)=e^{x}\Big(\big(-x^{6}+90x^{4}-1800x^{2}+5040\big)\cos x + \big(12x^{5}-480x^{3}+4320x\big)\sin x\Big).

Passo 10

Finalmente a solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{x} + y_p(x),
com y_p dado acima.

Resposta

y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{x} + e^{x}\Big(\big(-x^{6}+90x^{4}-1800x^{2}+5040\big)\cos x + \big(12x^{5}-480x^{3}+4320x\big)\sin x\Big).

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