Determine a solução geral de
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial não homogênea
Informações dadas e o que se pede:
- A equação é linear de coeficientes constantes, de segunda ordem.
- O lado direito é um produto de um polinômio
por . - Queremos encontrar a solução geral
, onde é a solução geral da homogênea e é uma particular para o lado direito.
Passo 2
Resolvo primeiro a equação homogênea associada:
A equação característica é
Resolvendo: isto é
, logo temos raiz dupla
(multiplicidade 2). Portanto a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Estratégia para
:
- Como o lado direito é
, é conveniente usar o método dos coeficientes indeterminados via complexificação: considere o número complexo e a função complexa
onde
é um polinômio (complexo) que vamos determinar; então a parte real de
fornece uma solução particular real para o termo
.
- Para operadores polinomiais
com coeficientes constantes vale a identidade
onde
age sobre
. Aqui
.
Passo 4
Aplicando isso com
e exigindo
obtemos, dividindo por
,
Como
, seus derivados são
e
. Expandindo
(polinômio de grau 2 em
) obtemos a equação diferencial para
:
Calcular as constantes:
Portanto a equação para
é
Passo 5
Proponho
como polinômio de grau
:
com
complexos desconhecidos. Calculo
e
:
Substituo em
e igualo coeficientes de potências de
. Vou fazer isso de grau mais alto para baixo (mais direto porque
reduz grau).
Passo 6
Comparando coeficiente de
:
- Vem apenas de
: . Logo
Coeficiente de
:
- De
: . - De
: . - De
: não contribui em .
Igualando a zero (lado direito tem coeficiente 0 em):
Coeficiente de
:
- De
: . - De
: . - De
: .
Somando e igualando a zero:
Substituindo
,
:
Passo 7
Coeficiente de
:
- De
: . - De
: . - De
: .
Igualando a zero:
Substituindo
,
:
Coeficiente de
:
- De
: . - De
: . - De
: .
Igualando a zero:
Substituindo
,
:
Passo 8
Coeficiente de
:
- De
: . - De
: . - De
: .
Igualando a zero:
Substituindo
,
:
Coeficiente de
(constante):
- De
: . - De
: . - De
: .
Igualando ao coeficiente do lado direito (que é 0 para potências inferiores a 6, exceto que já tratamos):
Substituindo
,
:
Passo 9
Agora temos todos os coeficientes complexos
:
Escrevo
com
polinômios reais (separando parte real e imaginária). Assim:
A solução particular real é a parte real de
. Calculando a parte real (ver demonstração rápida:
) obtemos
Substituindo
e
:
Podemos simplificar o sinal em
se desejar:
Passo 10
Finalmente a solução geral é a soma da homogênea com a particular:
com
dado acima.