Determine a solução geral de
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem
Informações dadas:
- A equação é linear, com coeficientes constantes, não homogênea.
- O termo não homogêneo é
, que é um polinômio em multiplicado por . - Devemos encontrar a solução geral
, ou seja, soma da solução geral da homogênea e de uma particular.
Passo 2
Começo encontrando a solução geral da equação homogênea associada
Para isso uso o polinômio característico. Se escrevermos
obtemos
Resolvendo a equação quadrática:
ou seja, há raiz dupla
(multiplicidade 2). Quando a raiz
é dupla, a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para a parte não homogênea
.
Estratégia: usar complexificação. Observamos que
Estratégia: usar complexificação. Observamos que
Se conseguimos uma solução complexa
de
então a parte real de
é uma solução particular real para a equação original:
Passo 4
Proponho uma forma para
. Pelo método dos coeficientes indeterminados, uma função da forma
pede uma solução
da forma
onde
é um polinômio de grau
com coeficientes complexos, pois não há ressonância com as raízes do característico (as raízes do característico são
dupla;
não é raiz do característico). Agora aplico o operador linear
sobre essa forma e uso a identidade para operadores:
se então
.
Aqui então
. Portanto
se
Aqui
Queremos isto igual a
. Assim obtemos a equação para o polinômio
:
Passo 5
Expando o operador
. Como
representa derivada em relação a
,
Logo a equação para
é
Assumimos
polinômio de grau
:
com coeficientes
complexos a determinar. Calculo
e
:
Substituo em
e igualo termo a termo ao polinômio
(coeficiente
em
e zeros nas demais potências):
Compare os coeficientes de cada potência de
.
- Grau
: só contribui (do termo ). Então
- Grau
: contribuem e . Igualando a zero:
- Grau
: contribuem (de ), (de ) e . Igualando a zero:
Substituindo
e
:
Logo
.
- Grau
: contribuem , e . Igualando a zero:
Substituindo
,
:
Logo
.
- Grau
: contribuem , e . Igualando a zero:
Substituindo
,
:
Logo
.
- Grau
(constante): contribuem , e . Igualando a zero:
Substituindo
,
:
Logo
.
Resumo dos coeficientes:
Passo 6
Agora escrevo
separando parte real
e imaginária
com coeficientes reais:
Usando os coeficientes obtidos:
- Termos reais vêm de
:
- Termos imaginários vêm dos coeficientes multiplicados por
: dão
A solução particular complexa é
A solução particular real que precisamos é a parte real:
Calculo a parte real explicitamente usando
. Assim
Substituindo
e
:
Passo 7
Finalmente escrevo a solução geral como soma da homogênea e da particular:
Substituo
e
.