Determine a solução geral de y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=x^{5} e^{x} \cos x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y = x^{5} e^{x}\cos x.
Informações dadas:
  • A equação é linear, com coeficientes constantes, não homogênea.
  • O termo não homogêneo é x^{5} e^{x}\cos x, que é um polinômio em x multiplicado por e^{x}\cos x.
  • Devemos encontrar a solução geral y(x), ou seja, soma da solução geral da homogênea e de uma particular.

Passo 2

Começo encontrando a solução geral da equação homogênea associada
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y=0.
Para isso uso o polinômio característico. Se escrevermos y=e^{rx} obtemos
r^{2}-2r+1=0.
Resolvendo a equação quadrática:
(r-1)^2=0,
ou seja, há raiz dupla r=1 (multiplicidade 2). Quando a raiz r=1 é dupla, a solução geral da homogênea é
y_h(x) = (C_{1}+C_{2}x)e^{x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p para a parte não homogênea x^{5} e^{x}\cos x.
Estratégia: usar complexificação. Observamos que
x^{5} e^{x}\cos x = \operatorname{Re}\bigl(x^{5} e^{(1+i)x}\bigr).
Se conseguimos uma solução complexa y_{p}^{\text{(c)}} de
y''-2y'+y = x^{5} e^{(1+i)x},
então a parte real de y_{p}^{\text{(c)}} é uma solução particular real para a equação original:
y_p = \operatorname{Re}\bigl(y_{p}^{\text{(c)}}\bigr).

Passo 4

Proponho uma forma para y_{p}^{\text{(c)}}. Pelo método dos coeficientes indeterminados, uma função da forma x^{5} e^{(1+i)x} pede uma solução y_{p}^{\text{(c)}} da forma
y_{p}^{\text{(c)}}(x) = e^{(1+i)x}P(x),
onde P(x) é um polinômio de grau 5 com coeficientes complexos, pois não há ressonância com as raízes do característico (as raízes do característico são 1 dupla; 1+i não é raiz do característico). Agora aplico o operador linear L[y]=y''-2y'+y=(D-1)^2 y sobre essa forma e uso a identidade para operadores:
se y=e^{ax}P(x) então (D-1)^2 y = e^{ax}(D+a-1)^2 P(x).
Aqui a=1+i então a-1=i. Portanto
L\bigl[e^{(1+i)x}P(x)\bigr] = e^{(1+i)x} (D + i)^2 P(x).
Queremos isto igual a x^{5} e^{(1+i)x}. Assim obtemos a equação para o polinômio P:
(D + i)^2 P(x) = x^{5}.

Passo 5

Expando o operador (D+i)^2. Como D representa derivada em relação a x,
(D+i)^2 = D^2 + 2iD + i^2 = D^2 + 2iD -1.
Logo a equação para P é
P''(x) + 2i P'(x) - P(x) = x^{5}.
Assumimos P(x) polinômio de grau 5:
P(x) = a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},
com coeficientes a_k complexos a determinar. Calculo P' e P'':
P'(x)=5a_{5}x^{4}+4a_{4}x^{3}+3a_{3}x^{2}+2a_{2}x+a_{1},
P''(x)=20a_{5}x^{3}+12a_{4}x^{2}+6a_{3}x+2a_{2}.
Substituo em P''+2iP'-P e igualo termo a termo ao polinômio x^{5} (coeficiente 1 em x^5 e zeros nas demais potências):
Compare os coeficientes de cada potência de x.
  • Grau 5: só contribui -a_{5}x^{5} (do termo -P). Então
- a_{5} = 1 \quad\Rightarrow\quad a_{5} = -1.
  • Grau 4: contribuem 2i\cdot 5a_{5}x^{4}=10i a_{5}x^{4} e -a_{4}x^{4}. Igualando a zero:
10i a_{5} - a_{4} = 0 \quad\Rightarrow\quad a_{4} = 10i a_{5} = 10i(-1) = -10i.
  • Grau 3: contribuem 20a_{5}x^{3} (de P''), 2i\cdot 4a_{4}x^{3}=8i a_{4}x^{3} (de 2iP') e -a_{3}x^{3}. Igualando a zero:
20 a_{5} + 8i a_{4} - a_{3} = 0.
Substituindo a_{5}=-1 e a_{4}=-10i:
20(-1) + 8i(-10i) - a_{3} = -20 + 80 - a_{3} = 60 - a_{3}=0
Logo a_{3}=60.
  • Grau 2: contribuem 12 a_{4}x^{2}, 2i\cdot 3a_{3}x^{2}=6i a_{3}x^{2} e -a_{2}x^{2}. Igualando a zero:
12 a_{4} + 6i a_{3} - a_{2} = 0.
Substituindo a_{4}=-10i, a_{3}=60:
12(-10i)+6i(60)-a_{2} = -120i +360i - a_{2} = 240i - a_{2} =0
Logo a_{2}=240 i.
  • Grau 1: contribuem 6 a_{3}x, 2i\cdot 2a_{2}x =4i a_{2}x e -a_{1}x. Igualando a zero:
6 a_{3} + 4i a_{2} - a_{1} =0.
Substituindo a_{3}=60, a_{2}=240 i:
6\cdot 60 + 4i(240 i) - a_{1} = 360 +4\cdot 240 \cdot i^2 - a_{1} = 360 -960 - a_{1} = -600 - a_{1}=0
Logo a_{1} = -600.
  • Grau 0 (constante): contribuem 2 a_{2}, 2i\cdot a_{1} =2i a_{1} e -a_{0}. Igualando a zero:
2 a_{2} + 2i a_{1} - a_{0} =0.
Substituindo a_{2}=240 i, a_{1}=-600:
2(240 i) + 2i(-600) - a_{0} = 480 i -1200 i - a_{0} = -720 i - a_{0}=0
Logo a_{0} = -720 i.
Resumo dos coeficientes:
a_{5}=-1,\quad a_{4}=-10i,\quad a_{3}=60,\quad a_{2}=240 i,\quad a_{1}=-600,\quad a_{0}=-720 i.

Passo 6

Agora escrevo P(x) separando parte real U(x) e imaginária V(x) com coeficientes reais:
P(x)=U(x)+iV(x).
Usando os coeficientes obtidos:
  • Termos reais vêm de a_{5},a_{3},a_{1}:
U(x) = -x^{5} + 60 x^{3} - 600 x.
  • Termos imaginários vêm dos coeficientes multiplicados por i: a_{4}=-10i, a_{2}=240 i, a_{0}=-720 i dão
V(x) = -10 x^{4} + 240 x^{2} - 720.
A solução particular complexa é
y_{p}^{\text{(c)}}(x) = e^{(1+i)x}P(x) = e^{x} e^{ix}\bigl(U(x)+iV(x)\bigr).
A solução particular real que precisamos é a parte real:
y_p(x) = \operatorname{Re}\bigl(y_{p}^{\text{(c)}}(x)\bigr).
Calculo a parte real explicitamente usando e^{ix}(\,U+iV\,)=(U\cos x - V\sin x) + i(U\sin x + V\cos x). Assim
y_p(x)=e^{x}\bigl(U(x)\cos x - V(x)\sin x\bigr).
Substituindo U e V:
y_p(x)=e^{x}\Bigl[\bigl(-x^{5}+60x^{3}-600x\bigr)\cos x + \bigl(10x^{4}-240x^{2}+720\bigr)\sin x\Bigr].

Passo 7

Finalmente escrevo a solução geral como soma da homogênea e da particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x).
Substituo y_h e y_p.

Resposta

y(x) = (C_{1}+C_{2}x)e^{x} \;+\; e^{x}\Bigl[\bigl(-x^{5}+60x^{3}-600x\bigr)\cos x + \bigl(10x^{4}-240x^{2}+720\bigr)\sin x\Bigr].

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