Determine a solução geral de y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=x^{8} e^{x} \operatorname{sen} x

Passo 1

Enunciado: determinar a solução geral da equação diferencial
y''-2y'+y = x^{8} e^{x}\operatorname{sen} x.
O que o enunciado dá:
  • A equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes: \;y''-2y'+y= (termo não-homogêneo).
  • O termo não-homogêneo é \;x^{8} e^{x}\operatorname{sen} x.
O que é pedido:
  • A solução geral y(x) da equação (ou seja, soma da solução geral da homogênea com uma particular).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Operador diferencial linear homogêneo associado é L[y]=(D^2-2D+1)y=(D-1)^2 y.
  • O termo não-homogêneo tem a forma x^8 e^{x}\sin x, que sugere usar o método dos coeficientes indeterminados com complexificação (ou método do aniquilador). Não vou perguntar nada mais — sigo com esses dados.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada:
y''-2y'+y=0.
Formo o polinômio característico \;r^2-2r+1=0, que é
(r-1)^2=0,
portanto r=1 é raiz dupla. Logo a solução geral da homogênea é
y_h(x) = \big(C_1 + C_2 x\big)e^{x},
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.
Explicação curta do porquê: para uma raiz dupla r=1 as soluções independentes são e^{rx}=e^{x} e x e^{x}.

Passo 3

Escolha do método para a particular:
  • O termo não-homogêneo é x^{8} e^{x}\sin x. É prático usar a técnica da complexificação: tratar \sin x como parte da parte imaginária de e^{ix}. Consideramos a função complexa
f_c(x)=x^{8} e^{(1+i)x}=x^{8} e^{x}e^{ix},
pois \operatorname{Im}(f_c)=x^8 e^{x}\sin x. Se encontrarmos uma solução particular complexa y_c de
(D-1)^2 y_c = f_c,
então a parte imaginária de y_c será uma solução particular real da equação original. Este procedimento reduz a aritmética porque exponenciais complexas permitem usar o deslocamento do operador D.
Além disso usamos a identidade útil: para qualquer polinômio Q(x) e constante a,
D\big(e^{ax}Q(x)\big)=e^{ax}(D+a)Q(x),
onde à direita D opera sobre Q. Aplico isso abaixo.

Passo 4

Procuro uma solução particular complexa da forma
y_c(x)=e^{(1+i)x}Q(x),
onde Q(x) é um polinômio a determinar. Como o lado direito tem x^8, o grau natural para Q é 8 (polinômio de grau \le 8). Substituo em (D-1)^2 y_c = f_c.
Usando D[e^{(1+i)x}Q]=(e^{(1+i)x})(D+i)Q (porque 1+i-1=i), aplicando duas vezes:
(D-1)^2\big(e^{(1+i)x}Q\big) = e^{(1+i)x}(D+i)^2 Q.
Logo a equação complexa reduz-se a
(D+i)^2 Q(x) = x^8.
Explicação: em termos de operadores, o deslocamento “retira” o fator exponencial, ficando uma equação puramente polinomial para Q.

Passo 5

Resolver para o polinômio Q\). - Escrevo \(Q(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{8} c_k x^k\), com coeficientes complexos \(c_k\). - Calculo \((D+i)^2 Q = (D^2+2iD -1)Q\). - Para alinhar potências, escrevo a condição coeficiente a coeficiente. Para \(m=0,1,\dots,8\) o coeficiente de \(x^m\) em \((D^2+2iD -1)Q\) é \[(m+2)(m+1)c_{m+2} + 2i(m+1)c_{m+1} - c_m,
onde entendemos c_9=c_{10}=0 (já que Q tem grau \le 8). Esse coeficiente deve ser igual ao coeficiente de x^m em x^8, ou seja 0 se m\neq 8 e 1 se m=8.
Assim obtemos o sistema (para m=0,\dots,8):
(m+2)(m+1)c_{m+2} + 2i(m+1)c_{m+1} - c_m = \begin{cases}1,& m=8,\\[4pt]0,& m\le 7.\end{cases}
Como c_9=c_{10}=0\], começamos por \(m=8 e resolvemos regressivamente (é prático porque as equações conectam c_{m+2},c_{m+1},c_m). Faço as contas passo a passo:
  • Para m=8: (10\cdot9)c_{10}+2i\cdot9 c_9 - c_8 =1. Com c_9=c_{10}=0 obtemos -c_8=1, então
c_8 = -1.
  • Para m=7: (9\cdot8)c_9 +2i\cdot8 c_8 - c_7 =0. Com c_9=0,
- c_7 +16 i c_8 =0 \implies c_7 = 16 i c_8 = 16 i(-1) = -16 i.
  • Para m=6: (8\cdot7)c_8 +2i\cdot7 c_7 - c_6 =0, isto é
56 c_8 +14 i c_7 - c_6 =0 \implies c_6 = 56 c_8 +14 i c_7.
Substituindo c_8=-1 e c_7=-16 i:
c_6 = 56(-1) + 14 i(-16 i) = -56 +14\cdot(-16)\cdot i^2 = -56 +14\cdot(-16)\cdot(-1)= -56 +224 =168.
  • Para m=5: (7\cdot6)c_7 +2i\cdot6 c_6 - c_5 =0:
42 c_7 +12 i c_6 - c_5 =0 \implies c_5 = 42 c_7 +12 i c_6.
Substituindo c_7=-16 i, c_6=168:
c_5 = 42(-16 i) +12 i\cdot 168 = -672 i +2016 i =1344 i.
  • Para m=4: (6\cdot5)c_6 +2i\cdot5 c_5 - c_4 =0:
30 c_6 +10 i c_5 - c_4 =0 \implies c_4 = 30 c_6 +10 i c_5.
Substituindo c_6=168, c_5=1344 i:
c_4 = 30\cdot168 +10 i\cdot(1344 i) =5040 +10\cdot1344\cdot i^2 =5040 -13440 = -8400.
  • Para m=3: (5\cdot4)c_5 +2i\cdot4 c_4 - c_3 =0:
20 c_5 +8 i c_4 - c_3 =0 \implies c_3 = 20 c_5 +8 i c_4.
Substituindo:
c_3 = 20\cdot(1344 i) +8 i\cdot(-8400) =26880 i -67200 i = -40320 i.
  • Para m=2: (4\cdot3)c_4 +2i\cdot3 c_3 - c_2 =0:
12 c_4 +6 i c_3 - c_2 =0 \implies c_2 = 12 c_4 +6 i c_3.
Substituindo:
c_2 =12\cdot(-8400) +6 i\cdot(-40320 i) = -100800 +6\cdot(-40320)\cdot i^2 = -100800 +241920 =141120.
  • Para m=1: (3\cdot2)c_3 +2i\cdot2 c_2 - c_1 =0:
6 c_3 +4 i c_2 - c_1 =0 \implies c_1 = 6 c_3 +4 i c_2.
Substituindo:
c_1 =6\cdot(-40320 i) +4 i\cdot 141120 = -241920 i +564480 i =322560 i.
  • Para m=0: (2\cdot1)c_2 +2i\cdot1 c_1 - c_0 =0:
2 c_2 +2 i c_1 - c_0 =0 \implies c_0 = 2 c_2 +2 i c_1.
Substituindo:
c_0 =2\cdot141120 +2 i\cdot(322560 i) =282240 +2\cdot322560\cdot i^2 =282240 -645120 = -362880.
Resumo dos coeficientes c_k:
\begin{aligned} c_8 &= -1,\\\ c_7 &= -16 i,\\\ c_6 &= 168,\\\ c_5 &= 1344 i,\\\ c_4 &= -8400,\\\ c_3 &= -40320 i,\\\ c_2 &= 141120,\\\ c_1 &= 322560 i,\\\ c_0 &= -362880. \end{aligned}]

Passo 6

Formo o polinômio complexo Q(x)=\sum_{k=0}^8 c_k x^k. Separei em parte real U(x) e imaginária V(x) (ou seja Q=U+iV):
  • Termos de índice par são reais, termos de índice ímpar são puramente imaginários. Assim
U(x)= -x^8 +168 x^6 -8400 x^4 +141120 x^2 -362880,
V(x)= -16 x^7 +1344 x^5 -40320 x^3 +322560 x.
Lembrete do passo de complexificação: a solução particular real é a parte imaginária de y_c=e^{(1+i)x}Q(x) quando o lado direito original é a parte imaginária de f_c. Contudo é equivalente escrever a solução particular real na forma real direta:
y_p(x) = \operatorname{Re}\big(e^{(1+i)x}Q(x)\big)\quad\text{ou}\quad y_p(x)=e^{x}\big(U(x)\cos x - V(x)\sin x\big),
porque e^{(1+i)x}Q(x)=e^{x}(\cos x + i\sin x)(U+iV) e extraindo a parte real obtemos essa forma.

Passo 7

Combino solução homogênea y_h com a particular y_p para obter a solução geral:
Assim a solução geral é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = \big(C_1 + C_2 x\big)e^{x} + e^{x}\big(U(x)\cos x - V(x)\sin x\big),
com U(x) e V(x) dados acima.
Para clareza, escrevo explicitamente U e V:
U(x)= -x^8 +168 x^6 -8400 x^4 +141120 x^2 -362880,
V(x)= -16 x^7 +1344 x^5 -40320 x^3 +322560 x.

Resposta

y(x)=\big(C_1 + C_2 x\big)e^{x} + e^{x}\Big[\big(-x^8 +168 x^6 -8400 x^4 +141120 x^2 -362880\big)\cos x
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -\big(-16 x^7 +1344 x^5 -40320 x^3 +322560 x\big)\sin x\Big],
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados