Determine a solução geral de
Passo 1
Enunciado: determinar a solução geral da equação diferencial
O que o enunciado dá:
- A equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
(termo não-homogêneo). - O termo não-homogêneo é
.
O que é pedido:
- A solução geral
da equação (ou seja, soma da solução geral da homogênea com uma particular).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Operador diferencial linear homogêneo associado é
. - O termo não-homogêneo tem a forma
, que sugere usar o método dos coeficientes indeterminados com complexificação (ou método do aniquilador). Não vou perguntar nada mais — sigo com esses dados.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada:
Formo o polinômio característico
, que é
portanto
é raiz dupla. Logo a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Explicação curta do porquê: para uma raiz dupla
as soluções independentes são
e
.
Passo 3
Escolha do método para a particular:
- O termo não-homogêneo é
. É prático usar a técnica da complexificação: tratar como parte da parte imaginária de . Consideramos a função complexa
pois
. Se encontrarmos uma solução particular complexa
de
então a parte imaginária de
será uma solução particular real da equação original. Este procedimento reduz a aritmética porque exponenciais complexas permitem usar o deslocamento do operador
.
Além disso usamos a identidade útil: para qualquer polinômio
e constante
,
onde à direita
opera sobre
. Aplico isso abaixo.
Passo 4
Procuro uma solução particular complexa da forma
onde
é um polinômio a determinar. Como o lado direito tem
, o grau natural para
é
(polinômio de grau
). Substituo em
.
Usando
(porque
), aplicando duas vezes:
Logo a equação complexa reduz-se a
Explicação: em termos de operadores, o deslocamento “retira” o fator exponencial, ficando uma equação puramente polinomial para
.
Passo 5
Resolver para o polinômio
onde entendemos
(já que
tem grau
). Esse coeficiente deve ser igual ao coeficiente de
em
, ou seja
se
e
se
.
Assim obtemos o sistema (para
):
Como
e resolvemos regressivamente (é prático porque as equações conectam
). Faço as contas passo a passo:
- Para
: . Com obtemos , então
- Para
: . Com ,
- Para
: , isto é
Substituindo
e
:
- Para
: :
Substituindo
,
:
- Para
: :
Substituindo
,
:
- Para
: :
Substituindo:
- Para
: :
Substituindo:
- Para
: :
Substituindo:
- Para
: :
Substituindo:
Resumo dos coeficientes
:
Passo 6
Formo o polinômio complexo
. Separei em parte real
e imaginária
(ou seja
):
- Termos de índice par são reais, termos de índice ímpar são puramente imaginários. Assim
Lembrete do passo de complexificação: a solução particular real é a parte imaginária de
quando o lado direito original é a parte imaginária de
. Contudo é equivalente escrever a solução particular real na forma real direta:
porque
e extraindo a parte real obtemos essa forma.
Passo 7
Combino solução homogênea
com a particular
para obter a solução geral:
Assim a solução geral é
com
e
dados acima.
Para clareza, escrevo explicitamente
e
:
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias.