Determine a solução geral de y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=x^{9} e^{x} \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea com coeficientes constantes
y''-2y'+y = x^{9} e^{x}\,\operatorname{sen} x.
Dados relevantes que o enunciado fornece:
  • A equação é linear com operador diferencial constante.
  • O termo não-homogêneo é x^{9}e^{x}\sin x.
  • Queremos a solução geral y(x) (ou seja, solução geral da homogênea mais uma particular).

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y''-2y'+y=0.
Para isso fazemos o polinômio característico. Seja r a raiz associada ao modo e^{rx}. O polinômio é
r^{2}-2r+1=0.
Calculando as raízes:
r^{2}-2r+1=(r-1)^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad r=1\\ \text{(raiz dupla)}.
Quando temos raiz dupla r=1, a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p} para a parte não-homogênea x^{9}e^{x}\sin x.
Explicação do método que vou usar (de forma didática e prática):
  • O lado direito é da forma e^{ax}P(x)\sin(bx) com a=1, b=1 e P(x) polinômio de grau 9.
  • Uma maneira prática é usar a “complexificação”: escrever \sin x como a parte imaginária de e^{ix}, isto é x^{9}e^{x}\sin x=\operatorname{Im}\big(x^{9}e^{(1+i)x}\big).Se eu encontrar uma solução complexa z(x) da equação z''-2z'+z = x^{9}e^{(1+i)x},então a parte imaginária \operatorname{Im}(z(x)) será solução da equação original real.
  • Esse método costuma simplificar porque podemos tentar z(x)=e^{(1+i)x}Q(x) com Q(x) polinomial de grau 9 (mesmo grau de P). Não há fator extra de multiplicação por x no palpite porque 1+i não é raiz do polinômio característico r^{2}-2r+1 (as raízes são 1 duplas), logo não precisamos multiplicar por potências de x.

Passo 4

Aplicamos o operador diferencial L[y]=y''-2y'+y ao palpite z=e^{(1+i)x}Q(x). Para calcular L[e^{ax}Q] há uma fórmula direta (derivando duas vezes e simplificando). Com a=1+i obtemos
L\big[e^{ax}Q(x)\big]=e^{ax}\big(Q''(x)+2(a-1)Q'(x)+(a-1)^{2}Q(x)\big).
Aqui a-1=i. Substituindo:
L\big[e^{(1+i)x}Q(x)\big]=e^{(1+i)x}\big(Q''(x)+2i\,Q'(x)-Q(x)\big).
Queremos que isso seja igual a x^{9}e^{(1+i)x}. Cancelando o fator e^{(1+i)x} (que nunca é zero), obtemos a equação para Q:
Q''(x)+2i\,Q'(x)-Q(x) = x^{9}.

Passo 5

Vamos procurar Q(x) como polinômio de grau 9:
Q(x)=\sum_{k=0}^{9} a_{k}x^{k},
onde os a_{k} podem ser complexos. Calculamos Q' e Q'':
Q'(x)=\sum_{k=1}^{9} k a_{k}x^{k-1},\qquad Q''(x)=\sum_{k=2}^{9} k(k-1)a_{k}x^{k-2}.
Substituindo em Q''+2iQ'-Q=x^{9} e igualando coeficientes termo a termo obtemos uma recorrência linear entre os a_{k}. Escrevendo a condição para o coeficiente de x^{m} (com m=0,1,\dots,9) resulta:
(m+2)(m+1)a_{m+2} + 2i(m+1)a_{m+1} - a_{m} = b_{m},
onde b_{9}=1 e b_{m}=0 para m<9. (Aqui entendemos a_{10}=a_{11}=0.)
Essa recorrência é triangular: começamos por m=9 e vamos decrescendo.

Passo 6

Agora calculamos os coeficientes a_{k} explicitamente, do grau mais alto para o zero.
  • Para m=9: só aparece -a_{9}=1. Logo
    a_{9}=-1.
  • Para m=8: temos 2i\cdot 9 a_{9}-a_{8}=0. Substituindo a_{9}=-1:
    a_{8}=18i\,a_{9} = 18i(-1) = -18i.
  • Para m=7: (9\cdot 8)a_{9}+2i\cdot 8 a_{8}-a_{7}=0. Substituindo:
    72(-1)+16i(-18i)-a_{7}=0 \Rightarrow -72+288-a_{7}=0 \Rightarrow a_{7}=216.
  • Para m=6: 56 a_{8}+14i a_{7}-a_{6}=0. Substituindo:
    56(-18i)+14i(216)-a_{6}=0 \Rightarrow -1008i+3024i-a_{6}=0 \Rightarrow a_{6}=2016i.
  • Para m=5: 42 a_{7}+12i a_{6}-a_{5}=0. Substituindo:
    42(216)+12i(2016i)-a_{5}=0 \Rightarrow 9072-24192-a_{5}=0 \Rightarrow a_{5}=-15120.
  • Para m=4: 30 a_{6}+10i a_{5}-a_{4}=0. Substituindo:
    30(2016i)+10i(-15120)-a_{4}=0 \Rightarrow 60480i-151200i-a_{4}=0 \Rightarrow a_{4}=-90720i.
  • Para m=3: 20 a_{5}+8i a_{4}-a_{3}=0. Substituindo:
    20(-15120)+8i(-90720i)-a_{3}=0 \Rightarrow -302400+725760-a_{3}=0 \Rightarrow a_{3}=423360.
  • Para m=2: 12 a_{4}+6i a_{3}-a_{2}=0. Substituindo:
    12(-90720i)+6i(423360)-a_{2}=0 \Rightarrow -1088640i+2540160i-a_{2}=0 \Rightarrow a_{2}=1451520i.
  • Para m=1: 6 a_{3}+4i a_{2}-a_{1}=0. Substituindo:
    6(423360)+4i(1451520i)-a_{1}=0 \Rightarrow 2540160-5806080-a_{1}=0 \Rightarrow a_{1}=-3265920.
  • Para m=0: 2 a_{2}+2i a_{1}-a_{0}=0. Substituindo:
    2(1451520i)+2i(-3265920)-a_{0}=0 \Rightarrow 2903040i-6531840i-a_{0}=0 \Rightarrow a_{0}=-3628800i.
Assim temos todos os coeficientes a_{k}. Observação: percebemos que os coeficientes de ordem ímpar são reais e os de ordem par são puramente imaginários.

Passo 7

Escrevemos o polinômio Q(x) separando parte real Q_{\mathrm{re}} e imaginária Q_{\mathrm{im}} (com coeficientes reais):
Q(x)=Q_{\mathrm{re}}(x)+i\,Q_{\mathrm{im}}(x),
onde, a partir dos a_{k} calculados,
Q_{\mathrm{re}}(x) = -x^{9}+216x^{7}-15120x^{5}+423360x^{3}-3265920x,
Q_{\mathrm{im}}(x) = -3628800+1451520x^{2}-90720x^{4}+2016x^{6}-18x^{8}.

Passo 8

Recordando que z(x)=e^{(1+i)x}Q(x) é solução complexa, a solução particular para a equação real original é a parte imaginária:
y_{p}(x)=\operatorname{Im}\big(z(x)\big).
Escrevendo e^{(1+i)x}=e^{x}(\cos x + i\sin x) e usando a decomposição de Q em parte real e imaginária, a parte imaginária de z é
y_{p}(x)=e^{x}\big(\cos x\;Q_{\mathrm{im}}(x)+\sin x\;Q_{\mathrm{re}}(x)\big).
Substituindo explicitamente Q_{\mathrm{re}} e Q_{\mathrm{im}} obtemos:
y_{p}(x)=e^{x}\Big[\cos x\big(-3628800+1451520x^{2}-90720x^{4}+2016x^{6}-18x^{8}\big)
\qquad\qquad\qquad\quad +\sin x\big(-x^{9}+216x^{7}-15120x^{5}+423360x^{3}-3265920x\big)\Big].

Passo 9

Finalmente a solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x).
Substituindo y_{h} e y_{p} obtemos a forma completa (coloquei y_{p} já expandido).

Resposta

y(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{x}+e^{x}\Big[\cos x\big(-3628800+1451520x^{2}-90720x^{4}+2016x^{6}-18x^{8}\big) \
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+\sin x\big(-x^{9}+216x^{7}-15120x^{5}+423360x^{3}-3265920x\big)\Big]

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