Determine a solução geral de
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea com coeficientes constantes
Dados relevantes que o enunciado fornece:
- A equação é linear com operador diferencial constante.
- O termo não-homogêneo é
. - Queremos a solução geral
(ou seja, solução geral da homogênea mais uma particular).
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
Para isso fazemos o polinômio característico. Seja
a raiz associada ao modo
. O polinômio é
Calculando as raízes:
Quando temos raiz dupla
, a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
para a parte não-homogênea
.
Explicação do método que vou usar (de forma didática e prática):
- O lado direito é da forma
com , e polinômio de grau . - Uma maneira prática é usar a “complexificação”: escrever
como a parte imaginária de , isto é Se eu encontrar uma solução complexa da equação então a parte imaginária será solução da equação original real. - Esse método costuma simplificar porque podemos tentar
com polinomial de grau (mesmo grau de ). Não há fator extra de multiplicação por no palpite porque não é raiz do polinômio característico (as raízes são duplas), logo não precisamos multiplicar por potências de .
Passo 4
Aplicamos o operador diferencial
ao palpite
. Para calcular
há uma fórmula direta (derivando duas vezes e simplificando). Com
obtemos
Aqui
. Substituindo:
Queremos que isso seja igual a
. Cancelando o fator
(que nunca é zero), obtemos a equação para
:
Passo 5
Vamos procurar
como polinômio de grau
:
onde os
podem ser complexos. Calculamos
e
:
Substituindo em
e igualando coeficientes termo a termo obtemos uma recorrência linear entre os
. Escrevendo a condição para o coeficiente de
(com
) resulta:
onde
e
para
. (Aqui entendemos
.)
Essa recorrência é triangular: começamos por
e vamos decrescendo.
Passo 6
Agora calculamos os coeficientes
explicitamente, do grau mais alto para o zero.
-
Para
: só aparece . Logo -
Para
: temos . Substituindo : -
Para
: . Substituindo: -
Para
: . Substituindo: -
Para
: . Substituindo: -
Para
: . Substituindo: -
Para
: . Substituindo: -
Para
: . Substituindo: -
Para
: . Substituindo: -
Para
: . Substituindo:
Assim temos todos os coeficientes
. Observação: percebemos que os coeficientes de ordem ímpar são reais e os de ordem par são puramente imaginários.
Passo 7
Escrevemos o polinômio
separando parte real
e imaginária
(com coeficientes reais):
onde, a partir dos
calculados,
Passo 8
Recordando que
é solução complexa, a solução particular para a equação real original é a parte imaginária:
Escrevendo
e usando a decomposição de
em parte real e imaginária, a parte imaginária de
é
Substituindo explicitamente
e
obtemos:
Passo 9
Finalmente a solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
Substituindo
e
obtemos a forma completa (coloquei
já expandido).