Determine a solução geral de
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea
O conteúdo é solução de EDOs lineares com coeficientes constantes. Vamos:
- achar a solução geral da homogênea associada;
- encontrar uma solução particular para o termo não-homogêneo
; - somar homogênea + particular.
Passo 2
Equação homogênea associada:
A equação característica é
, com raízes
. Portanto
Passo 3
Escrevemos
em termos de
:
Então a EDO fica
Buscamos uma solução particular na forma
, onde
Passo 4
Para
supomos
constante. Então
e
Logo
Passo 5
Para
usamos variação de parâmetros com as soluções
e
.
O Wronskiano é . As fórmulas dão
O Wronskiano é
Integramos
Então
Passo 6
Somando as partes, a solução particular completa é
A solução geral é então