Determine a solução geral de y^{\prime \prime}+y=\tan ^{2} x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea
y'' + y = \tan^2 x.
O conteúdo é solução de EDOs lineares com coeficientes constantes. Vamos:
  1. achar a solução geral da homogênea associada;
  2. encontrar uma solução particular para o termo não-homogêneo \tan^2 x;
  3. somar homogênea + particular.

Passo 2

Equação homogênea associada:
y'' + y = 0.
A equação característica é r^2 + 1 = 0, com raízes r = \pm i. Portanto
y_h(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x.

Passo 3

Escrevemos \tan^2 x em termos de \operatorname{sec}^2 x:
\tan^2 x = \operatorname{sec}^2 x - 1.
Então a EDO fica
y'' + y = \operatorname{sec}^2 x \;-\; 1.
Buscamos uma solução particular na forma y_p = y_{p1} + y_{p2}, onde
y_{p1}'' + y_{p1} = \operatorname{sec}^2 x, \qquad y_{p2}'' + y_{p2} = -1.

Passo 4

Para y_{p2}'' + y_{p2} = -1 supomos y_{p2}=A constante. Então y_{p2}''=0 e
0 + A = -1 \quad\Longrightarrow\quad A = -1.
Logo
y_{p2}(x) = -1.

Passo 5

Para y_{p1}'' + y_{p1} = \operatorname{sec}^2 x usamos variação de parâmetros com as soluções y_1=\cos x e y_2=\sin x.
O Wronskiano é W=1. As fórmulas dão
u_1' = -\,\frac{y_2\,\operatorname{sec}^2 x}{W} = -\sin x\,\operatorname{sec}^2 x = -\frac{\sin x}{\cos^2 x}, \quad u_2' = \frac{y_1\,\operatorname{sec}^2 x}{W} = \cos x\,\operatorname{sec}^2 x = \frac{1}{\cos x}.
Integramos
u_1(x) = \int -\frac{\sin x}{\cos^2 x}\,dx = -\int \operatorname{sec} x\tan x\,dx = -\operatorname{sec} x,
u_2(x) = \int \operatorname{sec} x\,dx = \ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr|.
Então
y_{p1} = u_1\,y_1 + u_2\,y_2 = \bigl(-\operatorname{sec} x\bigr)\cos x \;+\;\ln\!\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|\;\sin x = -1 + \sin x\,\ln\!\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr|.

Passo 6

Somando as partes, a solução particular completa é
y_p(x) = y_{p1}(x) + y_{p2}(x) = \bigl(-1 + \sin x\,\ln|\operatorname{sec} x+\tan x|\bigr) + (-1) = \sin x\,\ln\!\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr| - 2.
A solução geral é então
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1\cos x + C_2\sin x + \sin x\,\ln\!\bigl|\operatorname{sec} x+\tan x\bigr| - 2.

Resposta

\boxed{ y(x) = C_{1}\cos x + C_{2}\sin x + \sin x\,\ln\!\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr| \;-\; 2. }

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