Determine a solução e o intervalo maximal, das siguentes PVI:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=e^{4 x}-5 \operatorname{sen}(x) \\\ y(0)=5\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = e^{4x} - 5\sin(x),
com a condição inicial y(0)=5. O conteúdo aqui é integração direta, pois a derivada de y está expressa só em função de x. Precisamos integrar o lado direito e depois usar y(0)=5 para achar a constante de integração.

Passo 2

Integramos ambos os lados em relação a x:
y(x) = \int\bigl(e^{4x} - 5\sin(x)\bigr)\,\mathrm{d}x + C.
Calculando cada integral:
\int e^{4x}\,\mathrm{d}x = \frac{e^{4x}}{4}, \qquad \int -5\sin(x)\,\mathrm{d}x = 5\cos(x).
Logo a solução geral é
y(x) = \frac{e^{4x}}{4} + 5\cos(x) + C.

Passo 3

Usamos a condição y(0)=5. Substituindo x=0:
y(0) = \frac{e^{0}}{4} + 5\cos(0) + C = \frac{1}{4} + 5\cdot1 + C = 5.
Daí
\frac{1}{4} + 5 + C = 5 \quad\Longrightarrow\quad C = -\frac{1}{4}.
Portanto a solução particular é
y(x) = \frac{e^{4x}}{4} + 5\cos(x) - \frac{1}{4}.

Passo 4

O lado direito e^{4x}-5\sin(x) é contínuo para todo x\in\mathbb{R}. Pelo teorema de existência e unicidade, a solução existe e é única em todo \mathbb{R}. Assim o intervalo maximal é (-\infty,\infty).

Resposta

y(x) = \frac{e^{4x}}{4} + 5\cos(x) - \frac{1}{4}, \quad x\in\mathbb{R}.

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