Determine a solução das transformadas apresentadas abaixo.
Passo 1
O enunciado pede calcular a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas: a função a transformar é definida para
(caso padrão). O objetivo é encontrar
.
Informações dadas: a função a transformar é
Passo 2
Primeiro simplificamos a função usando álgebra elementar (expandir o quadrado). Multiplicando:
Aqui cada termo é uma função simples cuja transformada conhecemos/iremos calcular.
Passo 3
Vou lembrar a definição e uma propriedade que vamos usar: a transformada de Laplace de uma função
é
e a transformada é linear, ou seja, para constantes
e funções
vale
A linearidade é apenas a propriedade da integral de somar e fatorar constantes — muito útil para somas como a nossa.
Passo 4
Calculemos termo a termo. Começando por
:
Essa integral é uma exponencial simples. Se
,
Logo
para
.
Passo 5
Agora a fórmula básica para exponenciais: para
,
Essa integral converge e vale
desde que
, ou seja,
. Portanto
Passo 6
Aplicando isso aos termos da nossa função:
- Para
, pela linearidade e pela fórmula acima,
válido para
.
- Para
,
válido para
.
Passo 7
Pela linearidade, a transformada de
é a soma das transformadas dos três termos individuais (cada uma válida em sua região). Assim os termos parciais são:
Passo 8
Para que todos os três termos existam simultaneamente precisamos da interseção das regiões de convergência:
,
e
. A região que satisfaz todas é
. Portanto a expressão final será válida para
.