Determine a solução das transformadas apresentadas abaixo.
\mathcal{L}\left\{\left(1+e^{2 t}\right)^{2}\right\}=

Passo 1

O enunciado pede calcular a transformada de Laplace da função \left(1+e^{2t}\right)^{2}.
Informações dadas: a função a transformar é \left(1+e^{2t}\right)^{2} definida para t\ge 0 (caso padrão). O objetivo é encontrar \mathcal{L}\{\left(1+e^{2t}\right)^{2}\}.

Passo 2

Primeiro simplificamos a função usando álgebra elementar (expandir o quadrado). Multiplicando:
\left(1+e^{2t}\right)^{2} = 1 + 2e^{2t} + e^{4t}.
Aqui cada termo é uma função simples cuja transformada conhecemos/iremos calcular.

Passo 3

Vou lembrar a definição e uma propriedade que vamos usar: a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
e a transformada é linear, ou seja, para constantes a,b e funções f,g vale
\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\,\mathcal{L}\{f(t)\}+b\,\mathcal{L}\{g(t)\}.
A linearidade é apenas a propriedade da integral de somar e fatorar constantes — muito útil para somas como a nossa.

Passo 4

Calculemos termo a termo. Começando por 1:
\mathcal{L}\{1\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cdot 1\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt.
Essa integral é uma exponencial simples. Se \Re(s)>0,
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt=\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s}.
Logo \mathcal{L}\{1\}(s)=\dfrac{1}{s} para \Re(s)>0.

Passo 5

Agora a fórmula básica para exponenciais: para a\in\mathbb{C},
\mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}e^{at}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt.
Essa integral converge e vale \dfrac{1}{s-a} desde que \Re(s-a)>0, ou seja, \Re(s)> \Re(a). Portanto
\mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\frac{1}{s-a}\quad\text{para }\Re(s)>\Re(a).

Passo 6

Aplicando isso aos termos da nossa função:
  • Para 2e^{2t}, pela linearidade e pela fórmula acima,
\mathcal{L}\{2e^{2t}\}(s)=2\cdot\frac{1}{s-2}=\frac{2}{s-2},
válido para \Re(s)>2.
  • Para e^{4t},
\mathcal{L}\{e^{4t}\}(s)=\frac{1}{s-4},
válido para \Re(s)>4.

Passo 7

Pela linearidade, a transformada de \left(1+e^{2t}\right)^{2}=1+2e^{2t}+e^{4t} é a soma das transformadas dos três termos individuais (cada uma válida em sua região). Assim os termos parciais são:
\mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s},\qquad \mathcal{L}\{2e^{2t}\}(s)=\frac{2}{s-2},\qquad \mathcal{L}\{e^{4t}\}(s)=\frac{1}{s-4}.

Passo 8

Para que todos os três termos existam simultaneamente precisamos da interseção das regiões de convergência: \Re(s)>0, \Re(s)>2 e \Re(s)>4. A região que satisfaz todas é \Re(s)>4. Portanto a expressão final será válida para \Re(s)>4.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{\left(1+e^{2t}\right)^{2}\}(s)=\frac{1}{s}+\frac{2}{s-2}+\frac{1}{s-4},\quad \Re(s)>4