Determine o tempo de concentração usando a Equação de Kirpich ( \mathrm{tc}=57 .(\mathrm{L} 3 / \mathrm{H})^{0.385} com [\mathrm{t}]=\mathrm{min} ;[\mathrm{L}]=\mathrm{km} ;[\mathrm{H}]=\mathrm{m}) para uma bacia de 100 ha na cidade de Patos de Minas-MG, sendo o comprimento do talvegue de 2.000 m e uma diferença de elevação entre a seção de deságue e o ponto mais remoto da bacia de 35 m .

Passo 1

O enunciado pede para determinar o tempo de concentração usando a Equação de Kirpich. Dados fornecidos:
  • Área da bacia: 100\\ \mathrm{ha} (informação dada, mas não usada diretamente pela fórmula).
  • Comprimento do talvegue: 2\;000\\ \mathrm{m}.
  • Diferença de elevação entre a seção de deságue e o ponto mais remoto: 35\\ \mathrm{m}.
  • Equação de Kirpich fornecida: \mathrm{tc}=57\cdot\left(\frac{L^{3}}{H}\right)^{0{,}385}
  • Unidades indicadas pela fórmula: [\mathrm{t}]=\mathrm{min}; [\mathrm{L}]=\mathrm{km}; [\mathrm{H}]=\mathrm{m}.
    O objetivo é calcular \mathrm{tc} em minutos.

Passo 2

Converter as grandezas para as unidades requeridas pela fórmula. A fórmula exige L em quilômetros e H em metros. Temos:
  • L=2\;000\\ \mathrm{m}=2{,}0\\ \mathrm{km}. Aqui apenas dividimos por 1\;000 para passar metros a quilômetros.
  • H=35\\ \mathrm{m} já está na unidade correta.
    É importante fazer essa conversão: se colocarmos L em metros, o resultado ficaria com unidades erradas e o número não faria sentido.

Passo 3

Escreveremos a fórmula com os valores numéricos substituídos para ficar claro o que vamos calcular:
\mathrm{tc}=57\cdot\left(\frac{(2{,}0)^{3}}{35}\right)^{0{,}385}.
Explicando cada símbolo:
  • \mathrm{tc} é o tempo de concentração (minutos).
  • L é o comprimento do talvegue em \mathrm{km}.
  • H é a altura (diferença de elevação) em \mathrm{m}.
  • O expoente 0{,}385 é um número empírico da equação de Kirpich.

Passo 4

Calcular a razão interna \dfrac{L^{3}}{H} passo a passo:
  • Primeiro L^{3}=(2{,}0)^{3}=2{,}0\cdot2{,}0\cdot2{,}0=8{,}0.
  • Em seguida \dfrac{L^{3}}{H}=\dfrac{8{,}0}{35}.
    Fazendo a divisão:
\frac{8{,}0}{35}=0{,}2285714286\\ (\text{aprox.}).

Passo 5

Agora precisamos elevar esse resultado à potência 0{,}385. Lembrete rápido de como entender uma potência fracionária: para x^{a} com a real podemos usar x^{a}=e^{a\ln x}. Aqui usaremos isso para explicar o cálculo (na prova normalmente usa-se calculadora):
\left(0{,}2285714286\right)^{0{,}385}=e^{0{,}385\cdot\ln(0{,}2285714286)}.
Calculemos \ln(0{,}2285714286) e depois o produto (aqui apresento valores aproximados compatíveis com cálculos de mão assistidos por uma calculadora comum):
  • \ln(0{,}2285714286)\approx -1{,}47593.
  • Multiplicando: 0{,}385\cdot(-1{,}47593)\approx -0{,}56823.
  • Exponenciando: e^{-0{,}56823}\approx 0{,}5666.
    Portanto,
\left(\frac{L^{3}}{H}\right)^{0{,}385}\approx 0{,}5666.

Passo 6

Multiplicar pelo coeficiente 57:
\mathrm{tc}=57\cdot 0{,}5666\approx 32{,}30\\ \mathrm{min}.
Interpretação: o tempo de concentração da bacia, segundo a equação de Kirpich com os dados fornecidos, é aproximadamente 32{,}3 minutos. É um valor plausível para uma bacia pequena com talvegue de 2\\ \mathrm{km} e desnível de 35\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Verificação rápida de unidades e sensibilidade:
  • Unidades: usamos L em \mathrm{km} e H em \mathrm{m}; a fórmula já retorna \mathrm{tc} em minutos.
  • Sensibilidade: se L aumentasse, \mathrm{tc} aumentaria (porque L^{3} cresce rápido). Se H aumentasse (declividade maior), \mathrm{tc} diminuiria, o que faz sentido físico (água chega mais rápido).

Resposta

\mathrm{tc}\approx 32{,}3\\ \mathrm{min}

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