Determine the diffusivity of methane in air using
the Wilke equation for a gas mixture. The air is at 373 K and 1.5 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}.

Passo 1

O problema pede a difusividade de metano \rm CH_4 em ar a T=373\rm\;K e P=1{,}5\times10^5\rm\;Pa. Vamos usar dois ingredientes principais:
  1. A fórmula de Chapman–Enskog para calcular as difusividades binárias D_{A\!B} entre \rm CH_4 e cada componente do ar \rm N_2 e \rm O_2.
  2. A regra de mistura de Wilke para gases diluídos, que dá a difusividade efetiva de \rm CH_4 em ar a partir das D_{CH_4\!,N_2} e D_{CH_4\!,O_2}.

Passo 2

Coletemos os dados moleculares e as constantes de Lennard-Jones (originais ou tabeladas): \displaystyle M_{\rm CH_4}=16{,}0\;\rm g/mol,\quad\sigma_{\rm CH_4}=3{,}758\;\text{\AA},\quad\varepsilon_{\rm CH_4}/k=148\;\rm K \displaystyle M_{\rm N_2}=28{,}0\;\rm g/mol,\quad\sigma_{\rm N_2}=3{,}798\;\text{\AA},\quad\varepsilon_{\rm N_2}/k=71{,}4\;\rm K \displaystyle M_{\rm O_2}=32{,}0\;\rm g/mol,\quad\sigma_{\rm O_2}=3{,}467\;\text{\AA},\quad\varepsilon_{\rm O_2}/k=113\;\rm K
Convertamos a pressão para atmosferas, pois a fórmula de Chapman–Enskog usa P em atm:
P = \frac{1{,}5\times10^5\;\rm Pa}{1{,}01325\times10^5\;\rm Pa/atm} \approx 1{,}48\;\rm atm.

Passo 3

Aplicamos as regras de Lorentz–Berthelot para obter os parâmetros efetivos entre \rm CH_4 e cada par no ar:
\sigma_{AB}=\frac{\sigma_A+\sigma_B}{2}, \qquad \varepsilon_{AB} = \sqrt{\varepsilon_A\,\varepsilon_B}.
Para A=\rm CH_4, B=\rm N_2:
\sigma_{CH_4,N_2} = \frac{3{,}758+3{,}798}{2} = 3{,}778\;\text{\AA}, \quad \varepsilon_{CH_4,N_2}/k = \sqrt{148\times71{,}4} \approx102{,}8\;\rm K.
Para A=\rm CH_4, B=\rm O_2:
\sigma_{CH_4,O_2} = \frac{3{,}758+3{,}467}{2} = 3{,}613\;\text{\AA}, \quad \varepsilon_{CH_4,O_2}/k = \sqrt{148\times113} \approx129{,}3\;\rm K.

Passo 4

Calculamos o parâmetro adimensional T^*=T/(\varepsilon_{AB}/k) e obtemos o integral de colisão \Omega_D em tabelas de Chapman–Enskog:
Para \rm CH_4\!-\!N_2:
T^* = \frac{373}{102{,}8} \approx3{,}63, \quad \Omega_D\approx1{,}07.
Para \rm CH_4\!-\!O_2:
T^* = \frac{373}{129{,}3} \approx2{,}88, \quad \Omega_D\approx1{,}14.

Passo 5

Usamos a expressão de Chapman–Enskog para a difusividade binária, em \rm cm^2/s:
D_{AB} =0{,}001858\, \frac{T^{3/2}\,\sqrt{\frac1{M_A}+\frac1{M_B}}} {P\,\sigma_{AB}^2\,\Omega_D}.
Calculemos para cada par (com T=373\rm\;K, P=1{,}48\rm\;atm):
Para \rm CH_4\!-\!N_2:
\sqrt{\tfrac1{16}+\tfrac1{28}}=0{,}3134, \quad 373^{3/2}\approx7{,}198\times10^3,
D_{CH_4,N_2} =0{,}001858\frac{7{,}198\times10^3\times0{,}3134} {1{,}48\times(3{,}778)^2\times1{,}07} \approx0{,}186\;\rm cm^2/s.
Para \rm CH_4\!-\!O_2:
\sqrt{\tfrac1{16}+\tfrac1{32}}=0{,}3062, \quad D_{CH_4,O_2} \approx0{,}186\;\rm cm^2/s.
Convertendo para \rm m^2/s 1\rm\;cm^2/s=10^{-4}\;m^2/s:
D_{CH_4,N_2}\approx1{,}86\times10^{-5}\;\rm m^2/s, \quad D_{CH_4,O_2}\approx1{,}86\times10^{-5}\;\rm m^2/s.

Passo 6

Agora usamos a regra de mistura de Wilke para gás diluído y_{CH_4}\ll1:
D_{CH_4,\text{ar}} = \frac{1-y_{CH_4}}{\displaystyle \frac{y_{N_2}}{D_{CH_4,N_2}} +\frac{y_{O_2}}{D_{CH_4,O_2}} }.
No ar seco aproximamos y_{N_2}=0{,}79, y_{O_2}=0{,}21 e 1-y_{CH_4}\approx1.
Como D_{CH_4,N_2}\approx D_{CH_4,O_2}, a conta dá
D_{CH_4,\text{ar}} \approx\frac{1}{0{,}79/1{,}86\times10^{-5}+0{,}21/1{,}86\times10^{-5}} =1{,}86\times10^{-5}\;\rm m^2/s.

Resposta

A difusividade de metano em ar a 373\rm\;K e 1{,}5\times10^5\rm\;Pa é aproximadamente
D_{CH_4,\text{ar}}\approx1{,}9\times10^{-5}\;\rm m^2/s.

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