Determine todos os z \in \mathbb{C} que satisfazem
\operatorname{sinh} z=i

Passo 1

O enunciado pede todos os complexos z tais que
\operatorname{sinh} z = i.
O conteúdo usado será a definição de seno hiperbólico em termos de exponenciais complexas, além da resolução de uma equação algébrica em w = e^z e da caracterização geral da função logaritmo complexo.

Passo 2

Usamos a definição
\operatorname{sinh} z = \frac{e^{z} - e^{-z}}{2},
logo a equação \operatorname{sinh} z = i vira
\frac{e^{z} - e^{-z}}{2} = i \quad\Longrightarrow\quad e^{z} - e^{-z} = 2\,i.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por e^{z} para obter uma equação quadrática em w = e^{z}:
e^{2z} - 1 = 2\,i\,e^{z} \quad\Longrightarrow\quad w^{2} - 2\,i\,w - 1 = 0.

Passo 4

Resolvendo a quadrática
w^{2} - 2\,i\,w - 1 = 0,
o discriminante é
\Delta = ( -2\,i )^{2} - 4\cdot1\cdot(-1) = -4 + 4 = 0,
logo há raiz dupla
w = \frac{2\,i}{2} = i.

Passo 5

Da equação e^{z} = w = i tiramos
z = \ln(i),
mas o logaritmo complexo é multivalorado:
\ln(i) = \ln\bigl|i\bigr| + i\Arg(i) + 2\pi i k = 0 + i\bigl(\tfrac{\pi}{2} + 2\pi k\bigr), \quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

z = i\Bigl(\tfrac{\pi}{2} + 2\pi k\Bigr), \quad k\in\mathbb{Z}.

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