Determine todos os z \in \mathbb{C} que satisfazem
\operatorname{sinh} z=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os z\in\mathbb{C} tais que \operatorname{sinh} z=0. Vamos usar a definição da função hiperbólica \operatorname{sinh} z em termos de exponenciais para transformar o problema numa equação simples.

Passo 2

Pela definição,
\operatorname{sinh} z = \frac{e^{z} - e^{-z}}{2}.
Portanto, \operatorname{sinh} z=0 é equivalente a
e^{z} - e^{-z} = 0.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação por e^{z}, obtemos
e^{2z} - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad e^{2z} = 1.
Sabemos que, para qualquer w\in\mathbb{C},
e^{w} = 1 \quad\Longleftrightarrow\quad w = 2\pi i k \quad\text{com }k\in\mathbb{Z}.
Aqui temos w = 2z, então
2z = 2\pi i k, \quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Dividindo por 2, concluímos
z = \pi i k, \quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

\{\,z\in\mathbb{C}\mid\operatorname{sinh} z=0\}=\{\,i\pi k\mid k\in\mathbb{Z}\}.

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