Determine o trabalho incremental necessário para deslocar uma carga de 20 \mu \mathrm{C} por uma distância de 6 \mu \mathrm{~m} na direção de \mathbf{a}_{\rho}.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho incremental necessário para deslocar uma carga de \,20\,\mu\mathrm{C} por uma distância de \,6\,\mu\mathrm{m} na direção de \mathbf{a}_{\rho}.\n
Informações fornecidas:
\;q=20\,\mu\mathrm{C}.\n
\;\Delta \rho=6\,\mu\mathrm{m} (deslocamento ao longo de \mathbf{a}_{\rho}).\n
Direção do deslocamento: \mathbf{a}_{\rho}.\n
O enunciado não fornece o campo elétrico \mathbf{E} (ou a força) que atua sobre a carga.

Passo 2

Conceito básico e fórmula que usamos (aula rápida, bem mastigada): o trabalho infinitesimal (incremental) realizado por uma força \mathbf{F} quando um ponto se desloca por um diferencial de posição d\mathbf{l} é dado por
dW=\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}.
Explicando as letras:
\;dW é o trabalho infinitesimal (em joules), \mathbf{F} é a força (em newtons) e \;d\mathbf{l} é o vetor deslocamento infinitesimal (em metros). \n
No caso elétrico, a força sobre uma carga pontual \;q é \mathbf{F}=q\mathbf{E}, onde \mathbf{E} é o campo elétrico (em newtons por coulomb). Substituindo,
dW=q\,\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.
Isso é chave: sem saber \mathbf{E} não dá para obter um número definitivo para o trabalho.

Passo 3

Especializando para deslocamento na direção de \mathbf{a}_{\rho}: o diferencial de posição ao mover-se radialmente é
d\mathbf{l}=d\rho\,\mathbf{a}_{\rho}.
Escrevendo a componente radial do campo elétrico como E_{\rho}(\rho) (ou simplesmente E_{\rho} se for aproximadamente constante), o produto escalar fica
dW=q\,\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=q\,E_{\rho}(\rho)\,d\rho.
Portanto o trabalho infinitesimal ao mover um pedaço d\rho é diretamente qE_{\rho}(\rho)\,d\rho. Se quisermos o trabalho finito entre \rho_{i} e \rho_{f},
W=q\int_{\rho_{i}}^{\rho_{f}} E_{\rho}(\rho)\,d\rho.

Passo 4

Aplicando ao caso numérico: sabemos \;q=20\,\mu\mathrm{C}=20\times10^{-6}\,\mathrm{C} e \;\Delta\rho=6\,\mu\mathrm{m}=6\times10^{-6}\,\mathrm{m}.\n
Se o campo radial for aproximadamente constante ao longo do deslocamento (hipótese comum quando o deslocamento é muito pequeno), podemos aproximar o trabalho por
\Delta W \approx q\,E_{\rho}\,\Delta \rho.
Substituindo os valores de q e \Delta\rho obtém-se a expressão numérica (em função de E_{\rho}):
\Delta W \approx (20\times10^{-6})(6\times10^{-6})\,E_{\rho}=1{,}2\times10^{-10}\,E_{\rho}\\ \mathrm{J},
onde E_{\rho} está em \mathrm{N/C}. Isto é uma forma prática: você só precisa do valor de E_{\rho} para calcular \Delta W.

Passo 5

Conclusão prática e dica de prova: sem o valor (ou expressão) do campo \mathbf{E} não é possível dar um número definitivo para o trabalho. O procedimento certo na prova é escrever dW=qE_{\rho}(\rho)\,d\rho e, se pedirem o trabalho para um deslocamento finito, avaliar a integral \;q\int E_{\rho}(\rho)\,d\rho. Se o enunciado der um E_{\rho} constante ou uma expressão de E_{\rho}(\rho), você substitui e integra — fácil de fazer em prova.

Resposta

Não é possível determinar numericamente porque o campo elétrico \mathbf{E} não foi fornecido.
dW=q\,E_{\rho}(\rho)\,d\rho
W=q\int_{\rho_{i}}^{\rho_{f}}E_{\rho}(\rho)\,d\rho
Para deslocamento \Delta\rho=6\,\mu\mathrm{m} com E_{\rho} aproximadamente constante:
\Delta W\approx qE_{\rho}\Delta\rho=1{,}2\times10^{-10}\,E_{\rho}\\ \mathrm{J}.

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