Determine o trabalho incremental necessário para deslocar uma carga de 20 \mu \mathrm{C} por uma distância de 6 \mu \mathrm{~m} na direção de \mathbf{a}_{z}.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho incremental necessário para deslocar uma carga. Informações dadas:
  • A carga é \;q=20\\ \mu\mathrm{C}.
  • O deslocamento é de \;6\\ \mu\mathrm{m} na direção de \mathbf{a}_z.
    O que se pede: expressar o trabalho (incremental/pequeno e o trabalho total ao longo desse pequeno deslocamento) associado a mover essa carga nessa direção. Não foi fornecido um campo elétrico numérico, então vamos obter a expressão do trabalho em função da componente do campo elétrico ao longo de \mathbf{a}_z, que chamaremos de E_z.

Passo 2

Conceito básico (aula curta e clara): trabalho realizado por uma força sobre um deslocamento. Para um deslocamento infinitesimal d\mathbf{l} e força \mathbf{F}, o trabalho incremental é
dW=\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}.
Isso é a definição: produto escalar entre força e deslocamento infinitesimal. O produto escalar pega a componente da força na direção do deslocamento e multiplica pelo comprimento do deslocamento.

Passo 3

Força sobre uma carga num campo elétrico. Se a carga q está num campo elétrico \mathbf{E}, a força elétrica é
\mathbf{F}=q\,\mathbf{E}.
Substituindo na expressão do trabalho incremental:
dW=(q\,\mathbf{E})\cdot d\mathbf{l}=q\,(\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}).
Aqui q é em coulombs, \mathbf{E} em volts por metro ( \mathrm{V/m}), d\mathbf{l} em metros; o produto dá joules.

Passo 4

Aplicando ao caso: o deslocamento é ao longo de \mathbf{a}_z, logo podemos escrever d\mathbf{l}=dz\,\mathbf{a}_z. Denotando por E_z a componente de \mathbf{E} na direção \mathbf{a}_z (ou seja, \mathbf{E}=E_z\mathbf{a}_z+ outras componentes), o produto escalar fica
\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=E_z\,dz.
Portanto o trabalho incremental é
dW=q\,E_z\,dz.
Essa é a forma infinitesimal — muito útil na prova: sempre escreva dW=\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l} e substitua \mathbf{F}=q\mathbf{E}.

Passo 5

Trabalho finito para deslocamento de comprimento \Delta z. Como não há variação de q e, se assumirmos E_z constante ao longo do pequeno deslocamento (hipótese razoável para \Delta z=6\\ \mu\mathrm{m} se o campo for uniforme localmente), integramos:
W=\int dW=\int_{z_0}^{z_0+\Delta z} q\,E_z\,dz = q\,E_z\,\Delta z.
Agora substituímos os valores numéricos dados em SI: \;q=20\\ \mu\mathrm{C}=20\times10^{-6}\\ \mathrm{C} e \;\Delta z=6\\ \mu\mathrm{m}=6\times10^{-6}\\ \mathrm{m}. Multiplicando:
q\,\Delta z = \bigl(20\times10^{-6}\bigr)\bigl(6\times10^{-6}\bigr)=120\times10^{-12}=1{,}2\times10^{-10}.
Logo
W = 1{,}2\times10^{-10}\,E_z\quad\text{(J)},
onde E_z está em \mathrm{V/m}. Observe a verificação de unidades: \mathrm{C}\cdot(\mathrm{V/m})\cdot\mathrm{m}=\mathrm{C}\cdot\mathrm{V}=\mathrm{J}.

Passo 6

Resumo didático e dica de prova: quando pedirem “trabalho incremental” para uma carga deslocada em direção \mathbf{a}_z, escreva primeiro dW=\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}, depois \mathbf{F}=q\mathbf{E}, e por fim substitua d\mathbf{l}=dz\,\mathbf{a}_z. Se o campo não for dado numericamente, deixe a resposta em função de E_z — isso é aceito em prova. Se o campo for constante e dado, basta multiplicar pelo valor numérico.

Resposta

dW=q\,E_z\,dz
W=q\,E_z\,\Delta z = 1{,}2\times10^{-10}\,E_z\\ \text{J}

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