Determine as trajetórias ortogonais às famílias abaixo, sendo b \in \Re
e) x^{2}-y^{2}=b

Passo 1

O enunciado pede as trajetórias ortogonais à família de curvas definida por
x^{2}-y^{2}=b,
onde b\in\mathbb{R}. O conteúdo necessário envolve derivação implícita para obter a equação diferencial do ramo dado e depois usar a condição de ortogonalidade para encontrar a equação diferencial das trajetórias ortogonais, resolvendo-a em seguida.

Passo 2

Derivando implicitamente \,x^{2}-y^{2}=b em relação a x, tratando y=y(x), temos
2x - 2y\,\frac{dy}{dx}=0
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\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}.

Passo 3

Para a trajetória ortogonal, a inclinação deve satisfazer
\frac{dy}{dx}\bigg|_{\text{orto}}=-\frac{1}{\bigl(dy/dx\bigr)}=-\frac{1}{x/y}=-\frac{y}{x}.

Passo 4

Resolvendo a equação diferencial separável
\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x},
separamos variáveis e integramos:
\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}
\int\frac{dy}{y}=\int-\frac{dx}{x}
\ln|y|=-\ln|x|+C
\ln\bigl(|x\,y|\bigr)=C
x\,y=K,\quad K=e^{C}\in\mathbb{R}.

Resposta

As trajetórias ortogonais são dadas por
x\,y=K,\quad K\in\mathbb{R}.

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