Determine as trajetórias ortogonais às famílias abaixo, sendo
e)
e)
Passo 1
O enunciado pede as trajetórias ortogonais à família de curvas definida por
onde
. O conteúdo necessário envolve derivação implícita para obter a equação diferencial do ramo dado e depois usar a condição de ortogonalidade para encontrar a equação diferencial das trajetórias ortogonais, resolvendo-a em seguida.
Passo 2
Derivando implicitamente
em relação a
, tratando
, temos
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Passo 3
Para a trajetória ortogonal, a inclinação deve satisfazer
Passo 4
Resolvendo a equação diferencial separável
separamos variáveis e integramos:
Resposta
As trajetórias ortogonais são dadas por