Determine uma transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T(-1,2,1)=(2,2,-1). Verifique que a transformação exibida é linear e que ela cumpre o solicitado.
Passo 1
Vou deixar muito claro o que o enunciado pede e o que nos foi dado.
O enunciado pede: determinar uma transformação linear T: \mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{3} tal que T(-1,2,1)=(2,2,-1) e verificar que a transformação que eu der é linear e cumpre o solicitado.
Informações dadas:
Domínio e contradomínio: \mathbb{R}^{3}.
Um vetor do domínio: (-1,2,1).
A imagem requerida desse vetor: (2,2,-1).
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática e por que funciona).
Uma maneira simples e padrão de construir uma transformação linear que manda um vetor dado para outro é:
Extender o vetor dado para uma base de \mathbb{R}^{3}.
Definir T arbitrariamente (mas de forma simples) nas vetores dessa base, exigindo que o primeiro vá para o vetor pedido.
Estender T por linearidade a todo \mathbb{R}^{3}.
Justificativa rápida: uma transformação linear é totalmente determinada pelas imagens dos vetores de uma base. Se escolhermos as imagens dos vetores de uma base de forma consistente, isso define uma transformação linear única.
Passo 3
Escolher uma base que contenha o vetor dado e verificar que é realmente base.
Preciso checar que b_{1},b_{2},b_{3} são linearmente independentes (logo formam uma base). Considere a matriz cujas colunas são esses vetores:M=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.Calculo o determinante de M:\det(M) = -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]0&0\end{pmatrix} -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}2&1\\[2pt]1&0\end{pmatrix} = -1\cdot 0 -1\cdot(-1)=1.Como \det(M)=1\neq 0, os vetores são linearmente independentes e portanto formam uma base de \mathbb{R}^{3}.]
Explicação: estou mandando b_{1} para o vetor pedido e mandando os outros dois vetores da base para o vetor nulo. Isso é uma escolha válida e gera uma transformação linear por extensão linear (a existência e unicidade vêm do fato de que imagens em uma base determinam linearmente a aplicação).
Passo 5
Calcular a fórmula explícita de [T) em coordenadas padrão (ou seja, para um vetor genérico (x,y,z)).
Seja um vetor qualquer v=(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}. Quero escrever v em coordenadas da base (b_{1},b_{2},b_{3}):v=\alpha b_{1}+\beta b_{2}+\gamma b_{3}.Escrevendo componentes, isso dá o sistema\begin{cases} x=-\alpha+\beta,\\[4pt] y=2\alpha+\gamma,\\[4pt] z=\alpha. \end{cases}
Da terceira equação já vemos \alpha=z\]. Substituindo:
\[\beta = x+\alpha = x+z,\qquad \gamma = y-2\alpha = y-2z.\]
- Pela linearidade (e pelas definições de \(T nas bases), temosT(v)=\alpha\,T(b_{1})+\beta\,T(b_{2})+\gamma\,T(b_{3})=\alpha\,(2,2,-1)+\beta\,(0,0,0)+\gamma\,(0,0,0).Portanto, como \alpha=z,T(x,y,z)=z\,(2,2,-1)=(2z,\,2z,\,-z).]
Passo 6
Escrever T em forma matricial (opcional, mas útil) e comentar.
A fórmula T(x,y,z)=(2z,2z,-z) corresponde à multiplicação por uma matriz A atuando nas coordenadas coluna (x,y,z)^{T}:A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad T(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\\[2pt] z\end{pmatrix}.
Uma aplicação definida por multiplicação por uma matriz é linear por construção (propriedades de aditividade e homogeneidade seguem das operações matriciais).]
Passo 7
Verificar explicitamente a linearidade e que a condição pedida é satisfeita.
Verificação da propriedade linear (usando a fórmula): para u=(x_{1},y_{1},z_{1}) e v=(x_{2},y_{2},z_{2}),T(u+v)=T(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2},\,z_{1}+z_{2})=(2(z_{1}+z_{2}),\,2(z_{1}+z_{2}),\,-(z_{1}+z_{2}))eT(u)+T(v)=(2z_{1},2z_{1},-z_{1})+(2z_{2},2z_{2},-z_{2})=(2(z_{1}+z_{2}),\,2(z_{1}+z_{2}),\,-(z_{1}+z_{2})).Assim T(u+v)=T(u)+T(v). Para escalar c\in\mathbb{R},T(cu)=T(c x_{1},c y_{1},c z_{1})=(2(c z_{1}),2(c z_{1}),-(c z_{1}))=c(2z_{1},2z_{1},-z_{1})=cT(u).Portanto T é linear.
Verificação do requisito do enunciado: para o vetor dado (-1,2,1) temos z=1, entãoT(-1,2,1)=(2\cdot 1,\,2\cdot 1,\,-1)=(2,2,-1),que é exatamente a imagem exigida.