Determine a transformação linear T: R^2 R^2 cuja matriz em relação à base B=(1,1),(1,2) é dada por
(ll 1 & 0 1 & 2 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar uma transformação linear 1 & 0 1 & 2 cuja matriz, em relação à base , é dada por
Isso envolve conceitos de transformação linear, mudança de base e matrizes associadas a essas transformações. Para resolver, vamos precisar entender como converter a matriz dada na base para a matriz padrão, e então definir a transformação com base nisso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer transformação linear pode ser representada por uma matriz. A matriz dada está relativa à base P = 1 & 1 1 & 2 , mas queremos encontrar a transformação na base padrão.
Para isso, precisamos da matriz de mudança de base , que transforma coordenadas da base para a base padrão. A base é formada pelos vetores e .
Então, a matriz é formada colocando os vetores de como colunas:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a matriz inversa de det(P) = (1)(2) - (1)(1) = 2 - 1 = 1 , que vamos chamar de P^-1 = 1det(P) d & -b -c & a . A matriz inversa é essencial para mudar de base adequadamente.
Vamos calcular P^-1 = 2 & -1 -1 & 1 :
Primeiro, calculamos o determinante de :
Como o determinante é 1 (diferente de zero), a matriz é invertível. A inversa de uma matriz 2x2 é dada por:
Aplicando isso a :

Passo 4

Agora, temos a matriz da transformação na base [T]B = 1 & 0 1 & 2 :
[T]padrão = P cdot [T]B cdot P^-1
Para encontrar a matriz da transformação na base padrão, usamos a fórmula:
ã
Vamos multiplicar as matrizes passo a passo.

Passo 5

Primeiro, multiplicamos P cdot [T]B = 1 & 1 1 & 2 cdot 1 & 0 1 & 2 = 1 cdot 1 + 1 cdot 1 & 1 cdot 0 + 1 cdot 2 1 cdot 1 + 2 cdot 1 & 1 cdot 0 + 2 cdot 2 = 2 & 2 3 & 4 por :

Passo 6

Agora, multiplicamos o resultado pela matriz inversa [T]padrão = 2 & 2 3 & 4 cdot 2 & -1 -1 & 1 = 2 cdot 2 + 2 cdot (-1) & 2 cdot (-1) + 2 cdot 1 3 cdot 2 + 4 cdot (-1) & 3 cdot (-1) + 4 cdot 1 = 4 - 2 & -2 + 2 6 - 4 & -3 + 4 = 2 & 0 2 & 1 :
ã

Resposta

A transformação linear [T]padrão = 2 & 0 2 & 1 é dada pela matriz padrão
T x y = 2x 2x + y ã
Isso significa que, para qualquer vetor em , a transformação atua da seguinte forma:

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