Determine a transformaçâo linear T que representa uma: projeção ortogonal em R^3 sobre o plano y=z;

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear. O problema pede para determinar a transformação linear que representa uma projeção ortogonal no espaço tridimensional sobre o plano definido pela equação . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma projeção ortogonal, como identificar o plano de projeção e como construir a matriz que representa essa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma projeção ortogonal. Uma projeção ortogonal de um vetor sobre um plano é o vetor mais próximo no plano para o qual o vetor original é “projetado” perpendicularmente ao plano. Em termos matemáticos, se temos um vetor em , sua projeção no plano será tal que a diferença é perpendicular ao plano.

Passo 3

Identificamos o plano de projeção. No nosso caso, o plano é definido pela equação 0 1 -1 . Podemos reescrever isso como . O vetor normal a esse plano é um vetor perpendicular a todos os vetores que estão no plano. Para encontrar esse vetor, observamos os coeficientes das variáveis na equação do plano. Assim, o vetor normal é .

Passo 4

Para construir a matriz de projeção ortogonal T = I - n n^Tn^T n , usamos a fórmula:
onde é a matriz identidade de ordem 3, é o vetor normal ao plano, e é a transposta de .

Passo 5

Vamos calcular cada parte da fórmula:
Primeiro, calculamos n^T n = 0^2 + 1^2 + (-1)^2 = 0 + 1 + 1 = 2 :
n n^T = 0 1 -1 0 & 1 & -1 = 0 & 0 & 0 0 & 1 & -1 0 & -1 & 1
Em seguida, calculamos T = I - 12 0 & 0 & 0 0 & 1 & -1 0 & -1 & 1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 - 0 & 0 & 0 0 & 12 & -12 0 & -12 & 12 = 1 & 0 & 0 0 & 12 & 12 0 & 12 & 12 :
Agora, substituímos na fórmula de :

Resposta

A transformação linear T = 1 & 0 & 0 0 & 12 & 12 0 & 12 & 12 que representa a projeção ortogonal em sobre o plano é dada pela matriz:

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