Determine a transformada inversa de Laplace das seguintes funções racionais:
Y(s)=\frac{1}{(s+1)\left(s^{2}+4 s+4\right)}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a transformada inversa de Laplace da função racional
Y(s)=\frac{1}{(s+1)\left(s^{2}+4 s+4\right)}.
Informações dadas importantes:
  • O numerador é 1.
  • O denominador é o produto (s+1) e \left(s^{2}+4s+4\right).
  • A pergunta é: encontrar y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}, a função no domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro fatorar o polinômio quadrático para ver a forma dos polos. Observa-se que
s^{2}+4s+4=(s+2)^{2}.
Portanto
Y(s)=\frac{1}{(s+1)(s+2)^{2}}.

Passo 3

Vamos usar frações parciais. Para um polo simples em s=-1 e um polo duplo em s=-2 a decomposição tem a forma
\frac{1}{(s+1)(s+2)^{2}}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{(s+2)^{2}},
onde A, B e C são constantes a determinar. Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+2)^{2} obtemos a identidade (válida para todo s)
1 = A(s+2)^{2} + B(s+1)(s+2) + C(s+1).

Passo 4

Determinar as constantes de forma prática usando valores de s que anulam fatores:
  • Tomando s=-1 (anula os termos com fator s+1 em B e C):
1 = A(-1+2)^{2} = A\cdot 1^{2} \quad\Rightarrow\quad A=1.
  • Tomando s=-2 (anula os termos com (s+2) em A e B):
1 = C(-2+1) = C\cdot(-1) \quad\Rightarrow\quad C=-1.
  • Para encontrar B usamos outro valor conveniente, por exemplo s=0:
1 = A(0+2)^{2} + B(0+1)(0+2) + C(0+1).
Substituindo A=1 e C=-1:
1 = 1\cdot 4 + B\cdot 2 + (-1)\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad 1 = 3 + 2B \quad\Rightarrow\quad 2B=-2 \quad\Rightarrow\quad B=-1.

Passo 5

Portanto a decomposição é
\frac{1}{(s+1)(s+2)^{2}}=\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}-\frac{1}{(s+2)^{2}}.
É sempre bom, mentalmente, checar um valor de s qualquer para ver se a igualdade faz sentido; aqui os valores encontrados são consistentes.

Passo 6

Agora aplicamos transformadas inversas termo a termo. Lembrando as transformadas padrão:
  • \mathcal{L}\{e^{-a t}\}=\dfrac{1}{s+a}, logo \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s+a}\right\}=e^{-a t}.
  • \mathcal{L}\{t e^{-a t}\}=\dfrac{1}{(s+a)^{2}}, logo \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{(s+a)^{2}}\right\}=t e^{-a t}.
    (De modo geral \mathcal{L}\{t^{n}e^{-a t}\}=\dfrac{n!}{(s+a)^{n+1}}.)
Aplicando isso a cada termo:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s+1}\right\}=e^{-t}.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{-1}{s+2}\right\}=-e^{-2t}.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{-1}{(s+2)^{2}}\right\}=-t e^{-2t}.
Somando os termos obtemos a solução no tempo:
y(t)=e^{-t}-e^{-2t}-t e^{-2t}.
Opcionalmente pode-se escrever de forma fatorada
y(t)=e^{-t}-(1+t)e^{-2t}.

Resposta

y(t)=e^{-t}-e^{-2t}-t e^{-2t}

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