Determine a transformada inversa de Laplace das seguintes funções racionais:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a transformada inversa de Laplace da função racional
Informações dadas importantes:
- O numerador é
. - O denominador é o produto
e . - A pergunta é: encontrar
, a função no domínio do tempo.
Passo 2
Primeiro fatorar o polinômio quadrático para ver a forma dos polos. Observa-se que
Portanto
Passo 3
Vamos usar frações parciais. Para um polo simples em
e um polo duplo em
a decomposição tem a forma
onde
,
e
são constantes a determinar. Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade (válida para todo
)
Passo 4
Determinar as constantes de forma prática usando valores de
que anulam fatores:
- Tomando
(anula os termos com fator em e ):
- Tomando
(anula os termos com em e ):
- Para encontrar
usamos outro valor conveniente, por exemplo :
Substituindo
e
:
Passo 5
Portanto a decomposição é
É sempre bom, mentalmente, checar um valor de
qualquer para ver se a igualdade faz sentido; aqui os valores encontrados são consistentes.
Passo 6
Agora aplicamos transformadas inversas termo a termo. Lembrando as transformadas padrão:
-
, logo . -
, logo .
(De modo geral.)
Aplicando isso a cada termo:
-
. -
. -
.
Somando os termos obtemos a solução no tempo:
Opcionalmente pode-se escrever de forma fatorada