Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{2 s-1}{s^{2}(s+1)^{3}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=\frac{2s-1}{s^{2}(s+1)^{3}}.
O conteúdo principal é decomposição em frações parciais, seguida do uso das fórmulas
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s}\Bigr\}=1,\quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^{2}}\Bigr\}=t,\quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{(s+1)^{n}}\Bigr\}=\frac{t^{\,n-1}}{(n-1)!}\,e^{-t}.

Passo 2

Assumimos a decomposição em frações parciais
\frac{2s-1}{s^{2}(s+1)^{3}} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}} +\frac{C}{s+1}+\frac{D}{(s+1)^{2}}+\frac{E}{(s+1)^{3}}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por s^{2}(s+1)^{3} e igualando polinômios, temos
2s-1 = A\,s\,(s+1)^{3} + B\,(s+1)^{3} + C\,s^{2}(s+1)^{2} + D\,s^{2}(s+1) + E\,s^{2}.
Expandindo e coletando coeficientes de cada potência de s, obtemos o sistema
\begin{cases} A + C = 0,\\\\ 3A + B +2C + D=0,\\\\ 3A+3B+C+D+E=0,\\\ A+3B=2,\\\ B=-1. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema encontra-se
B=-1,\quad A=5,\quad C=-5,\quad D=-4,\quad E=-3.
Logo a decomposição é
\frac{2s-1}{s^{2}(s+1)^{3}} =\frac{5}{s}-\frac{1}{s^{2}} -\frac{5}{s+1}-\frac{4}{(s+1)^{2}}-\frac{3}{(s+1)^{3}}.

Passo 5

Aplicando a transformada de Laplace inversa termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{5}{s}\Bigr\}=5,\quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{-1}{s^{2}}\Bigr\}=-t,
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{-5}{s+1}\Bigr\}=-5\,e^{-t},\quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{-4}{(s+1)^{2}}\Bigr\}=-4\,t\,e^{-t},
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{-3}{(s+1)^{3}}\Bigr\} =-3\cdot\frac{t^{2}}{2}\,e^{-t}=-\frac{3}{2}\,t^{2}\,e^{-t}.
Somando tudo, obtemos a função no domínio do tempo.

Resposta

f(t) =5 - t \;-\;5\,e^{-t} \;-\;4\,t\,e^{-t}\;-\;\tfrac{3}{2}\,t^{2}\,e^{-t}.

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