Determine três números positivos cuja soma seja 48 e que seu produto seja maior possível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisa encontrar três números positivos que somem 48 e que, ao mesmo tempo, o produto desses três números seja o maior possível. Esse tipo de problema envolve conceitos de otimização na matemática, onde a gente busca o melhor resultado possível dentro de certas condições. Para resolver, vamos precisar usar um pouco de álgebra e entender como a Média Geométrica funciona.
Passo 2
Vamos começar definindo os três números. Vamos chamar eles de
,
e
. Sabemos que:
E queremos maximizar o produto:
Passo 3
Para maximizar o produto
com a soma fixa, a gente lembra da Desigualdade da Média Geométrica e Aritmética (AM-GM). A desigualdade diz que, para números positivos, a média aritmética é sempre maior ou igual à média geométrica. E a igualdade ocorre quando todos os números são iguais. Isso significa que, para maximizar
,
,
e
precisam ser iguais.
Passo 4
Então, se
, podemos substituir na equação da soma:
Portanto,
e
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto:
Resposta
Os três números são 16, 16 e 16, e o produto máximo possível é 4096.