Determine o triedro de Frenet, a curvatura, o raio de curvatura, o centro de curvatura, a torção e as componentes tangencial e normal da aceleração em um ponto qualquer das curvas abaixo.
\alpha(t)=\mathrm{e}^{t}(\cos t, \operatorname{sen} t, 1);

Passo 1

O enunciado dá a curva
\alpha(t)=\mathrm{e}^{t}(\cos t,\;\sin t,\;1)
e pede, em um ponto qualquer (isto é, para parâmetro t arbitrário), os seguintes itens:
  • o triedro de Frenet: o versor tangente T(t), o versor normal principal N(t) e o versor binormal B(t);
  • a curvatura \kappa(t) e o raio de curvatura \rho(t);
  • o centro de curvatura C(t);
  • a torção \tau(t);
  • as componentes tangencial e normal da aceleração, a_T(t) e a_N(t), e a decomposição da aceleração na base \{T,N\}.
Informações dadas explicitamente:
  • a função \alpha(t) acima (toda a resolução partirá dessa expressão).
  • não há figuras adicionais.
Vou calcular derivadas, depois usar as fórmulas padrão do triedro de Frenet e das componentes da aceleração, explicando cada fórmula quando for aplicada.

Passo 2

Calcular as derivadas primeiras e segundas necessárias (passo técnico obrigatório).
Derivar componente a componente (produtos de e^{t} por funções trigonométricas).
\alpha'(t)=\frac{d}{dt}\big[e^{t}(\cos t,\sin t,1)\big] = e^{t}(\cos t-\sin t,\;\sin t+\cos t,\;1).
\alpha''(t)=\frac{d}{dt}\alpha'(t) = e^{t}(-2\sin t,\;2\cos t,\;1).
\alpha'''(t)=\frac{d}{dt}\alpha''(t) = e^{t}\big(-2(\sin t+\cos t),\;2(\cos t-\sin t),\;1\big).
Explicação rápida: ao derivar e^{t}f(t) usa-se a regra do produto: (e^{t}f)'\!=e^{t}f+e^{t}f'=e^{t}(f+f'). Aplicado a cada componente obtemos as expressões acima.

Passo 3

Velocidade (norma de \alpha') e versor tangente T.
Calcule a norma de \alpha':
\|\alpha'(t)\|=e^{t}\sqrt{(\cos t-\sin t)^2+(\sin t+\cos t)^2+1^2}.
Avaliaremos o conteúdo do radical:
(\cos-\sin)^2+(\sin+\cos)^2+1 = ( \cos^2-2\sin\cos+\sin^2) + (\sin^2+2\sin\cos+\cos^2) +1 = 1+1+1=3.
Logo
\|\alpha'(t)\|=e^{t}\sqrt{3}.
O versor tangente é a derivada unitária na direção da velocidade:
T(t)=\frac{\alpha'(t)}{\|\alpha'(t)\|} =\frac{1}{\sqrt{3}}\big(\cos t-\sin t,\;\sin t+\cos t,\;1\big).
Comentário didático: T aponta na direção instantânea da curva; para encontrar T divide-se \alpha' pela sua norma.

Passo 4

Curvatura \kappa(t) através do produto vetorial \alpha'\times\alpha''.
Fórmula que vou usar e explicar:
\kappa(t)=\frac{\|\alpha'(t)\times\alpha''(t)\|}{\|\alpha'(t)\|^{3}}.
Significado: \alpha'\times\alpha'' mede a tendência da trajetória a sair da direção tangente (vento de curvatura); dividir por \|\alpha'\|^3 normaliza em função do parâmetro.
Calcule primeiro o produto vetorial em fator comum e^{t}:
escrevendo \alpha'(t)=e^{t}a(t) e \alpha''(t)=e^{t}b(t) com
a(t)=(\cos-\sin,\;\sin+\cos,\;1),\qquad b(t)=(-2\sin,\;2\cos,\;1).
Então \alpha'\times\alpha''=e^{2t}\big(a\times b\big). Calcula-se a\times b:
a(t)\times b(t)=(\sin t-\cos t,\;-\cos t-\sin t,\;2).
O quadrado da norma é
\|a\times b\|^2=(\sin-\cos)^2+(-\cos-\sin)^2+2^2=6,
então \|a\times b\|=\sqrt{6}. Assim
\|\alpha'\times\alpha''\| = e^{2t}\sqrt{6}.
Agora aplicar a fórmula da curvatura:
\kappa(t)=\frac{e^{2t}\sqrt{6}}{(e^{t}\sqrt{3})^{3}} =\frac{e^{2t}\sqrt{6}}{e^{3t}3\sqrt{3}} =\frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{3}}e^{-t}.
Simplificando a constante:
\frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6/3}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3}.
Portanto
\kappa(t)=\frac{\sqrt{2}}{3}\,e^{-t}.
Comentário didático: a curvatura decresce como e^{-t} porque a curva está sendo “esticada” exponencialmente.

Passo 5

Raio de curvatura \rho(t) e centro de curvatura C(t).
O raio de curvatura é a recíproca da curvatura:
\rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}=\frac{3}{\sqrt{2}}\,e^{t}.
O centro de curvatura fica no ponto \alpha(t) deslocado ao longo do normal principal por distância \rho:
C(t)=\alpha(t)+\rho(t)\,N(t).
Ainda precisamos de N(t); calculamos o versor normal no próximo passo e então construiremos C(t).

Passo 6

Cálculo do vetor normal principal N(t) (explicação da fórmula).
Duas formas equivalentes: (i) normalizar T'(t), ou (ii) usar N=B\times T depois de obter B. Vou usar N=\dfrac{T'}{\|T'\|} porque é direto aqui.
Primeiro calculo T'(t). Lembrando T(t)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}(\cos-\sin,\;\sin+\cos,\;1), derive componente a componente:
T'(t)=\frac{1}{\sqrt{3}}\big(-\sin-\cos,\;\cos-\sin,\;0\big).
A norma de T' é
\|T'(t)\|=\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{(\!- \sin-\cos)^2+(\cos-\sin)^2} =\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{2}= \sqrt{\frac{2}{3}}.
Logo o versor normal é
N(t)=\frac{T'(t)}{\|T'(t)\|} =\frac{1}{\sqrt{2}}\big(-(\sin t+\cos t),\;\cos t-\sin t,\;0\big).
Explicação didática: N é a direção em que o vetor tangente está mudando, normalizado. Observe que a componente na direção z de N é 0 — a variação do tangente aqui está no plano xy.

Passo 7

Cálculo do binormal B(t).
Definição:
B(t)=T(t)\times N(t).
Fazendo o produto vetorial com os T e N encontrados resulta
B(t)=\frac{1}{\sqrt{6}}\big(\sin t-\cos t,\;-\cos t-\sin t,\;2\big).
Comentário: B é ortonormal a T e N e aponta na direção da normal do plano osculador; sua norma é 1.

Passo 8

Agora podemos escrever explicitamente o centro de curvatura C(t) usando \rho e N.
Usando \rho(t)=\dfrac{3}{\sqrt{2}}e^{t} e N(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\big(-(\sin+\cos),\cos-\sin,0\big), temos \rho N = \dfrac{3}{2} e^{t}\big(-(\sin+\cos),\cos-\sin,0\big). Então
C(t)=\alpha(t)+\rho(t)N(t) = e^{t}\Big(\cos t,\sin t,1\Big) + \frac{3}{2}e^{t}\Big(-(\sin t+\cos t),\;\cos t-\sin t,\;0\Big).
Agrupando:
C(t)=e^{t}\Big(-\tfrac{1}{2}\cos t-\tfrac{3}{2}\sin t,\;\tfrac{3}{2}\cos t-\tfrac{1}{2}\sin t,\;1\Big).

Passo 9

Cálculo da torção \tau(t).
Fórmula padrão (usada para curvas parametrizadas arbitrariamente):
\tau(t) = -\,\frac{(\alpha'(t)\times\alpha''(t))\cdot\alpha'''(t)}{\|\alpha'(t)\times\alpha''(t)\|^{2}}.
Explicação: o numerador é o produto escalar do binormal (proporcional a \alpha'\times\alpha'') com a terceira derivada; a razão dá a velocidade de variação do plano osculador, isto é, a torção.
Já temos \alpha'\times\alpha''=e^{2t}w(t) com w(t)=(\sin-\cos,-\cos-\sin,2) e \alpha'''=e^{t}u(t) com u(t)=(-2(\sin+\cos),2(\cos-\sin),1). Calcula-se o produto escalar
w(t)\cdot u(t)=2.
Também \|\alpha'\times\alpha''\|^{2}=e^{4t}\|w\|^{2}=e^{4t}\cdot 6. Substituindo:
\tau(t) = -\frac{e^{3t}\,2}{e^{4t}\,6} = -\frac{2}{6}e^{-t} = -\frac{1}{3}e^{-t}.
Comentário: a torção é negativa aqui com a escolha de orientação implícita nas fórmulas (dependendo da escolha de N a torção poderia aparecer com sinal oposto, mas tomando consistentemente N=T'/\|T'\| obtemos o sinal acima).

Passo 10

Componentes tangencial e normal da aceleração e decomposição.
A aceleração é \alpha''(t). Para decompor em componentes tangencial e normal usamos fórmulas familiares:
  • componente tangencial (magnitude)
a_T(t)=\frac{d}{dt}\|\alpha'(t)\|=\alpha''(t)\cdot T(t).
\|\alpha'(t)\|=e^{t}\sqrt{3}, logo
a_T(t)=\frac{d}{dt}\big(e^{t}\sqrt{3}\big)=e^{t}\sqrt{3}.
Verificação direta: \alpha''\cdot T = e^{t}\sqrt{3} (confere).
  • componente normal (magnitude)
a_N(t)=\kappa(t)\,\|\alpha'(t)\|^{2}.
Calculando \|\alpha'(t)\|^{2}=3e^{2t} e \kappa(t)=\dfrac{\sqrt{2}}{3}e^{-t}, temos
a_N(t)=\frac{\sqrt{2}}{3}e^{-t}\cdot 3e^{2t}=\sqrt{2}\,e^{t}.
Também corresponde a \alpha''\cdot N(t)=\sqrt{2}e^{t}.
A decomposição vetorial da aceleração é então
\alpha''(t)=a_T(t)\,T(t)+a_N(t)\,N(t).

Resposta

T(t)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\big(\cos t-\sin t,\;\sin t+\cos t,\;1\big)\n
N(t)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\big(-(\sin t+\cos t),\;\cos t-\sin t,\;0\big)\n
B(t)=\dfrac{1}{\sqrt{6}}\big(\sin t-\cos t,\;-\cos t-\sin t,\;2\big)\n
\kappa(t)=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\,e^{-t}\n
\rho(t)=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\,e^{t}\n
C(t)=e^{t}\Big(-\tfrac{1}{2}\cos t-\tfrac{3}{2}\sin t,\;\tfrac{3}{2}\cos t-\tfrac{1}{2}\sin t,\;1\Big)\n
\tau(t)=-\dfrac{1}{3}\,e^{-t}\n
a_{T}(t)=e^{t}\sqrt{3}\n
a_{N}(t)=\sqrt{2}\,e^{t}\n
\alpha''(t)=a_{T}(t)\,T(t)+a_{N}(t)\,N(t)