Determine o triedro de Frenet, a curvatura, o raio de curvatura, o centro de curvatura, a torção e as componentes tangencial e normal da aceleração em um ponto qualquer das curvas abaixo.
;
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede, em um ponto qualquer (isto é, para parâmetro
arbitrário), os seguintes itens:
- o triedro de Frenet: o versor tangente
, o versor normal principal e o versor binormal ; - a curvatura
e o raio de curvatura ; - o centro de curvatura
; - a torção
; - as componentes tangencial e normal da aceleração,
e , e a decomposição da aceleração na base .
Informações dadas explicitamente:
- a função
acima (toda a resolução partirá dessa expressão). - não há figuras adicionais.
Vou calcular derivadas, depois usar as fórmulas padrão do triedro de Frenet e das componentes da aceleração, explicando cada fórmula quando for aplicada.
Passo 2
Calcular as derivadas primeiras e segundas necessárias (passo técnico obrigatório).
Derivar componente a componente (produtos de por funções trigonométricas).
Derivar componente a componente (produtos de
Explicação rápida: ao derivar
usa-se a regra do produto:
. Aplicado a cada componente obtemos as expressões acima.
Passo 3
Velocidade (norma de
) e versor tangente
.
Calcule a norma de
:
Avaliaremos o conteúdo do radical:
Logo
O versor tangente é a derivada unitária na direção da velocidade:
Comentário didático:
aponta na direção instantânea da curva; para encontrar
divide-se
pela sua norma.
Passo 4
Curvatura
através do produto vetorial
.
Fórmula que vou usar e explicar:
Significado:
mede a tendência da trajetória a sair da direção tangente (vento de curvatura); dividir por
normaliza em função do parâmetro.
Calcule primeiro o produto vetorial em fator comum
:
escrevendo e
com
escrevendo
Então
. Calcula-se
:
O quadrado da norma é
então
. Assim
Agora aplicar a fórmula da curvatura:
Simplificando a constante:
Portanto
Comentário didático: a curvatura decresce como
porque a curva está sendo “esticada” exponencialmente.
Passo 5
Raio de curvatura
e centro de curvatura
.
O raio de curvatura é a recíproca da curvatura:
O centro de curvatura fica no ponto
deslocado ao longo do normal principal por distância
:
Ainda precisamos de
; calculamos o versor normal no próximo passo e então construiremos
.
Passo 6
Cálculo do vetor normal principal
(explicação da fórmula).
Duas formas equivalentes: (i) normalizar
, ou (ii) usar
depois de obter
. Vou usar
porque é direto aqui.
Primeiro calculo
. Lembrando
, derive componente a componente:
A norma de
é
Logo o versor normal é
Explicação didática:
é a direção em que o vetor tangente está mudando, normalizado. Observe que a componente na direção
de
é
— a variação do tangente aqui está no plano
.
Passo 7
Cálculo do binormal
.
Definição:
Fazendo o produto vetorial com os
e
encontrados resulta
Comentário:
é ortonormal a
e
e aponta na direção da normal do plano osculador; sua norma é
.
Passo 8
Agora podemos escrever explicitamente o centro de curvatura
usando
e
.
Usando
e
, temos
. Então
Agrupando:
Passo 9
Cálculo da torção
.
Fórmula padrão (usada para curvas parametrizadas arbitrariamente):
Explicação: o numerador é o produto escalar do binormal (proporcional a
) com a terceira derivada; a razão dá a velocidade de variação do plano osculador, isto é, a torção.
Já temos
com
e
com
. Calcula-se o produto escalar
Também
. Substituindo:
Comentário: a torção é negativa aqui com a escolha de orientação implícita nas fórmulas (dependendo da escolha de
a torção poderia aparecer com sinal oposto, mas tomando consistentemente
obtemos o sinal acima).
Passo 10
Componentes tangencial e normal da aceleração e decomposição.
A aceleração é
. Para decompor em componentes tangencial e normal usamos fórmulas familiares:
- componente tangencial (magnitude)
Já
, logo
Verificação direta:
(confere).
- componente normal (magnitude)
Calculando
e
, temos
Também corresponde a
.
A decomposição vetorial da aceleração é então