Determine, usando a definição, a derivada de f(x) = x^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos determinar a sua derivada usando a definição de derivada. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente limites e a definição formal de derivada.

Passo 2

A definição da derivada de uma função em um ponto é dada por:
Ou seja, é o limite do quociente incremental à medida que se aproxima de zero.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função . Primeiro, calculamos :

Passo 4

Expandindo , temos:

Passo 5

Agora, substituímos e na definição da derivada:

Passo 6

Simplificando a expressão no numerador:
Então, a derivada fica:

Passo 7

Podemos fatorar no numerador:
Cancelando (desde que ):

Passo 8

Agora, tomando o limite quando tende a zero:

Resposta

A derivada da função é .

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