Determine, usando a definição, a derivada de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos determinar a sua derivada usando a definição de derivada. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente limites e a definição formal de derivada.
Passo 2
A definição da derivada de uma função
em um ponto
é dada por:
Ou seja, é o limite do quociente incremental à medida que
se aproxima de zero.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição à nossa função
. Primeiro, calculamos
:
Passo 4
Expandindo
, temos:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na definição da derivada:
Passo 6
Simplificando a expressão no numerador:
Então, a derivada fica:
Passo 7
Podemos fatorar
no numerador:
Cancelando
(desde que
):
Passo 8
Agora, tomando o limite quando
tende a zero:
Resposta
A derivada da função
é
.