Determine o valor de \alpha tal que:
\alpha=\log _{9} 3

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor de \alpha tal que está definida a igualdade
\alpha = \log_{9} 3.
Informação dada: a base do logaritmo é 9 e o argumento é 3.

Passo 2

Lembrete do que significa logaritmo: por definição, para quaisquer a>0, a\neq1, e b>0,
y=\log_{a} b
é equivalente à equação exponencial
a^{y}=b.
Isto quer dizer que o logaritmo responde à pergunta “qual expoente y faz a^{y}=b?”. Vou usar essa definição aqui.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso, a igualdade \alpha=\log_{9}3 é equivalente a
9^{\alpha}=3.

Passo 4

Observe que 9 pode ser escrito como potência de 3, pois 9=3^{2}. Substituindo em \;9^{\alpha}=3\; obtemos
(3^{2})^{\alpha}=3.

Passo 5

Uso da propriedade de potências: para quaisquer x e m,n vale (x^{m})^{n}=x^{mn}. Aplicando aqui,
(3^{2})^{\alpha}=3^{2\alpha}.
Então a equação fica
3^{2\alpha}=3.

Passo 6

Escrevendo o lado direito também como potência de 3, temos 3=3^{1}. Assim
3^{2\alpha}=3^{1}.
Quando duas potências têm a mesma base positiva diferente de 1, os expoentes devem ser iguais. Logo
2\alpha=1.

Passo 7

Resolvo a equação linear para \alpha:
\alpha=\frac{1}{2}.

Passo 8

(Alternativa — mudança de base, só para reforçar) A fórmula de mudança de base diz que
\log_{9}3=\frac{\ln 3}{\ln 9}.
Como \ln 9=\ln(3^{2})=2\ln 3 segue
\log_{9}3=\frac{\ln 3}{2\ln 3}=\frac{1}{2},
confirmando o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{1}{2}